Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики (стр. 9 из 21)

Ответ.

.

2. Использование ОДЗ

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 26. Решить уравнение

.

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех

, одновременно удовлетворяющих условиям и , то есть ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, то есть уравнение не имеет корней.

Ответ: Корней нет.

Пример 27. Решить уравнение

.

Решение. Конечно, это иррациональное уравнение можно решить путем традиционного возведения обеих частей в квадрат. Однако, найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ исходного уравнения – одноэлементное множество {2}. Подставив

в данное уравнение, приходим к выводу, что – корень исходного уравнения.

Ответ:

.

3. Использование графиков функций

При решении уравнений или неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.

Обратим внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо обосновать.

Пример 28. Решить уравнение

.

Решение. ОДЗ данного уравнения есть все из промежутка . Эскизы графиков функций и представлены на рисунке 1.

Проведем прямую

. Из рисунка следует, что график функции лежит не ниже этой прямой, а график функции не выше. При этом эти графики касаются прямой в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого имеем , а . При этом только для , а только для . Это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Корней нет.

Пример 29. Решить уравнение

.

Решение. Эскизы графиков функций

и представлены на рисунке 2.

Легко проверяется, что точка является точкой пересечения графиков функций и , то есть – решение уравнения. Проведем прямую . Из рисунка следует, что она расположена между графиками функций и . Это наблюдение и помогает доказать, что других решений данное уравнение не имеет.

Для этого докажем, что для

из промежутка справедливы неравенства и , а для промежутка справедливы неравенства и . Очевидно, что неравенство справедливо для , а неравенство для . Решим неравенство . Это неравенство равносильно неравенству , которое можно переписать в виде . Решениями этого неравенства являются все . Точно также показывается, что решениями неравенства являются все .

Следовательно, требуемое утверждение доказано, и исходное уравнение имеет единственный корень

.

Ответ:

.

Кроме рассмотренных типов иррациональных уравнений существуют еще и уравнения смешанного типа. К этой группе относятся иррациональные уравнения, содержащие кроме знака радикала и другие выражения (логарифмическое, показательное, тригонометрическое), а также знак модуля и параметр. Уравнения данного типа также чаще всего включаются в задания ЕГЭ и программу вступительных экзаменов в ВУЗы.

Со всеми учащимися на уроке такие уравнения разбирать не нужно, но они могут быть рассмотрены в рамках факультативных или кружковых занятий по математике с учащимися, повышенный интерес к математике. Примеры решения уравнений смешанного типа помещены в приложении А.

3. Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

При решении иррациональных уравнений и неравенств часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, как уже рассмотренное возведение в четную степень, – могут приобретаться или теряться решения. [17]

Рассмотрим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и научимся их распознать и предотвращать.

I. Пример 30. Решить уравнение

.

Решение. При первом же взгляде на это уравнение возникает мысль избавиться от корня с помощью «преобразования»

. Но это неверно, так как при отрицательных значениях x оказывалось бы, что . Здесь необходимо применить формулу . Уравнение теперь легко решается

.

Ответ.

.

Рассмотрим «обратное» преобразование.

Пример 31. Решить уравнение

.

Решение. Здесь применима формула

.