Рациональные уравнения и неравенства (стр. 10 из 11)

2) Пусть (m – 3)(m + 3) < 0, т.е. –3 < m < 3. Тогда неравенство имеет решение х > 1/(m – 3).

3) Пусть (m – 3)(m + 3) = 0, т.е. m = 3 или m = -3. Тогда если m = 3, то неравенство примет вид 0×х < 6 и, значит выполняется при любом хÎR. Если же m = -3, то неравенство примет вид 0×х < 0 и, следовательно, не имеет решении.

Пример:Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство

4а³х⁴ + 4а²х² + 32х + а + 8 ³ 0.

Решение. Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно х, так и относительно параметра а. Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить многочлен на а, а затем сделать замену y = ax, то в новом многочлене максимальная степень параметра а будет равна 2. Случай а = 0 дает нам ответ х ³ - ¼. Будем теперь считать, что а > 0. Умножив обе части неравенства на а и сделав замену y = ax, получим

4y⁴ + 4ay² + 32y + a² + 8a ³ 0.

Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно а:

a² + (4y² + 8)a + 4y² + 32y ³ 0,

¼D = (2y² + 4)² – 4y² – 32y = 16(y – 1)².

Раскладывая левую часть неравенства на множители, получим

(а + 2y² + 4y)(a + 2y² – 4y + 8) ³ 0,

или

(2y² + 4y + a)(2y² – 4y + 8 + a) ³ 0.

Второй множитель положителен при всех y, если а > 0. Приходим к неравенству 2y² + 4y + a ³ 0, откуда, если 0 < a < 2, y£ ½(-2 -) или y ³½(-2+); если а ³ 2, y – любое. Возвращаясь к х, получим ответ.

Ответ: Если а = 0, то х ³ - ¼; если 0 < a < 2, то х £ 1/2a*(-2 - ) или х ³ 1/2a(-2 + ); если а ³ 2, то х – любое.

Пример:Решить систему неравенств

х² – 3х + 2 £ 0,

ах² – 2(а + 1)х + а – 1 ³ 0.

Решение: Поскольку решением первого неравенства является 1 £ х £ 2, то задача сводится (при а ¹ 0) к выяснению расположения корней квадратного трехчлена f(x) = ах² – 2(а + 1)х + а –1 относительно отрезка [1; 2]. Имеем

¼D = (а + 1)² – а(а – 1) = 3а + 1, f(1) = -3, f(2) = а – 5.

Область изменения параметра а оказалось разделенной на 4 части (не считая граничных точек).

1) Если а < - 1/3, второе неравенство, а следовательно и данная система не имеют решения. То же имеет место и при а = -1/3.

Если –1/3< a < 0, то f(1)< 0, f(2) < 0. Для вершины параболы выполняется неравенство х_в= < 0 (рис. 1,а ). Следовательно, множество решении второго неравенства не содержит точек отрезка [1; 2]. Система

не имеет решения. То же имеет место и при а = 0.

3) Если 0 < a < 5, то f(1) < 0, f(2) < 0 (рис. 1, б). Значит, на всем отрезке [1; 2]f(x)< 0. Система вновь не имеет решения.

Если а ³ 5, то f(1)< 0, f(2) ³ 0 (рис. 1, в). Решением системы будет х₂£ х £ 2 где х₂ – больший корень уравнения f(x) = 0.

Решить: Напомним, что неравенство ½а½£b эквивалентно двойному неравенству –b £ a £ b. В нашем случае после преобразования приходим к системе неравенств

Изобразим на плоскости (х; а) множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе. При конкретном значении параметра а = a решением нашего неравенства будут абциссы тех точек горизонтальной прямой а = a, которые находятся в заштрихованной области. Найдем точки пересечения А(2; 2), В(-2; -2) наших точек парабол и вершину С(-0,5; -4,25) параболы а = х² +х – 4.

Далее получаем: если а > 2, то соответствующая прямая пересекается с заштрихованной областью.

Если –2 < a £ 2, то соответствующая прямая пересекается с заштрихованной областью по отрезку. Концами этого отрезка будут точки с абциссами ½(-1 + ) (больший корень уравнения а = х² + х – 4 или х² – х – 4 + а= 0).

Если –4¼£ a £ -2, то горизонтальная прямая, соответствующая таким а, пересекается с заштрихованной областью по двум отрезкам. Решением неравенства будет

Пусть надо найти числовые значения х, при которых превращаются в верные числовые неравенства одновременно несколько рациональных неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным х.

Чтобы решить систему рациональных неравенств, надо найти все решения каждого неравенства системы. Тогда общая часть всех найденных решений и будет решением системы.

Применяя метод интервала (рис. 1), находим, что множество всех решении неравенства (2) состоит из двух интервалов: (-¥, 1) и (5, 7).

Применяя метод интервалов (рис. 2), находим, что множество всех решении неравенства (3) также состоит их двух интервалов: (2, 3) и (4, +¥).

Теперь надо найти общую часть решении неравенств (2) и (3). Нарисуем координатную ось х и отметим на ней найденные решения. Теперь яс