Рациональные уравнения и неравенства (стр. 3 из 11)
Уравнение вида
anxn + an – 1 xn – 1 + … +a1x + a0 = 0
называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если
an – 1 = ak, при k = 0, 1, …, n.
Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,
где a, b и c — некоторые числа, причём a ¹ 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:
— разделить левую и правую части уравнения на x2. При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a ¹ 0;
— группировкой привести полученное уравнение к виду
a(x2 + 1 / x2) + b(x + 1 / x) + c = 0;
— ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено
t2 = x2 + 2 + 1 / x2, то есть x2 + 1 / x2 = t2 – 2;
в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:
at2 + bt + c – 2a = 0;
— решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.
Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.
Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой
x + 1 / x = t.
Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.
Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени
ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0
Легко видеть, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а потому по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.
Довольно часто в процессе решения задач вступительных экзаменов возникают рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то Вы воспользуетесь следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень исходного уравнения. “Кандидатов” в корни многочлена с целочисленными коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого многочлена. Если же попытка угадать корни не удалась, то, возможно, Вы избрали “не тот” метод решения, и существует иной метод, реализация которого не требует решения уравнения третьей или большей степени.
Формулы Виета для многочленов высших степеней.
Пусть многочлен P (x) = a0xn + a1xn – 1 + … + an
имеет n различных корней X1, X2, …, Xn. В этом случае он имеет разложение на множители вида
a0xn + a1xn – 1 + … + an = a0(x – x1)(x – x2)…(x – xn).
Разделим обе части этого равенства на a0 ¹ 0 и раскроем скобки. Получим равенство
Xn + (a1 / a0)xn – 1 + … + (an / a0) =
= xn – (x1 + x2 + … +xn)xn – 1 + (x1x2 +x1x3 + … +xn-1xn)xn – 2 +
+ … + (-1)nx1x2…xn.
Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняются равенства
x1 + x2 + … + xn = -a1 / a0,
x1x2 + x1x3 + … + xn – 1xn = a2 / a0,
…………………….
x1x2× … ×xn = (-1)nan / a0.
Пример 5.22. Напишем кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения x3 – 3x2 + 7x + 5 = 0.
Решение. Обозначим корни заданного уравнения через x1, x2и x3. Тогда по формулам Виета имеем
s1 = x1 + x2 +x3 = 3,
s2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 7,
s3 = x1x2x3 = – 5.
Корни искомого уравнения обозначим буквами y1, y2, y3, а его коэффициенты — буквами b1, b2, b3, положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны выполняться равенства y1 = x12, y2 = x22, y3 = x32и поэтому
b1 = – (y1 + y2 + y3) = – (x12 + x22 + x32),
b2 = y1y2 + y1y3 + y2y3 = x12x22 + x12x32 + x22x32,
b3 = – y1y2y3 = – x12x22x32 .
Но имеем
x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 +x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = s12 - 2s2 = 32 – 2×7 = – 5,
x12x22 + x12x32 + x22x32 = (x1x2 + x1x3 + x2x3)2 – 2x1x2x3(x1 + x2 +x3)= s22 – 2s1s3 = = 72 – 2×3×(– 5)= 79,
x12x22x32 = (x1x2x3)2= s32 = 25.
Значит, b1 = 5, b2 = 79, b3 = – 25, и потому искомое уравнение имеет вид
y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.
Ответ: y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.
Системы уравнений второй степени.
В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.
При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.
Пример 6.23. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.
 |
2x + y = 7,
xy = 6.
Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 – 2x. Подставляя значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений
y = 7 – 2x,7x – 2x2 = 6.
Квадратное уравнение – 2x2 + 7x – 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3 / 2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.
Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4 = 5,5.
Ответ: 5,5.
Пример 6.24. Решить систему уравнений
x + y + 2xy = 7,xy + 2(x + y) = 8.
Решение. Обозначим a = x + y; b = xy.
Получаем систему уравнений
 |
a + 2b = 7,
b + 2a = 8
или
a = 7 – 2b,b + 14 – 4b = 8.
Отсюда
a = 3,
b = 2.
Возвращаясь к переменным x и y, получаем
x + y = 3,xy = 2.
Решив эту систему:
x = 3 – y,(3 – y)y = 2;
y2 – 3y + 2 = 0, Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.
Ответ: (2; 1) , (1; 2).
Пример 6.25. Решить систему уравнений
y2 – xy = 12,x2 – xy = – 3.
Решение. Разложим левые части уравнений на множители:
y(y – x) = 12,x(x – y) = – 3.
Выразив из второго уравнения (x ¹ 0)x – y = – 3 / x, т.е. y – x = 3 / x, и подставив его в первое уравнение, получим
y / x = 4,x(x – y) = – 3, откуда
y = 4x,x(x – y) = – 3.
Подставив значение y во второе уравнение последней системы, имеем
- 3x2 = – 3, X1 = 1; X2 = – 1, тогда Y1 = 4; Y2 = – 4.
Ответ: (1; 4), (– 1; – 4).
Пример 6.26. Решим задачу.
Задача. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16 м, а площадь равна 15 м2.
Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По условию задачи должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8 и ху = 15
Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений
х + у = 8,ху = 15,
т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба уравнения системы обращает их в верные числовые равенства.
Из первого уравнения находим, что у = 8 – у. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем х(8 - у) = 15, т.е. 8х - х2 = 15 или
х2- 8х + 15 = 0.
Решим это уравнение:D = (-8)2 - 4×1×15 = 64 - 60 = 4,
Х1,2 = (8 ±Ö4) / 2 = (8 ± 2) / 2.
Значит, х1 = 5, х2 = 3. Поскольку у = 8 - х, то получаем у1 = 3, а у2 = 5. В обоих случаях получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон которого равны 3 м и 5 м.
Замечание: уравнение х2- 8х + 15 = 0 можно вывести быстрее, используя теорему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и у равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями уравнения z2- 8z + 15 = 0.
Рассмотрим системы, состоящие из двух уравнений с двумя неизвестными. Если в одно из них какое-нибудь неизвестное входит лишь в первой степени, то из этого уравнения можно выразить это неизвестное через другое и подставить полученное выражение во второе уравнение системы. Получится уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим значения этого неизвестного, а потом по ним находим значения оставшегося неизвестного.
Пример 6.27. Решим систему уравнений
2х + у = 11,х2 + у2 = 53.
Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 - 2х. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем: х2 + (11 - 2х)2 = 53.