Рациональные уравнения и неравенства (стр. 9 из 11)
С помощью “пробных” точек найдем знак выражения в каждом промежутке.Выпишем интервалы, где выполняется неравенство: (-¥; 0), (0; 1), (2; 5).
Ответ: (-¥; 0)È(0; 1)È(2; 5).
Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.
При решении неравенства, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, используется тот же прием, что и при решении уравнении, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величены, именно: решение исходного неравенства сводится к решению нескольких неравенств, рассматриваемых на промежутках знакопостоянства выражений, стоящих под знаков абсолютной величены.
Пример: Решить неравенство
½х2 - 2½ + х < 0. (*)
Решение: Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражения х2 – 2, стоящего под знаком абсолютной величены.
1) Предположим, что
х2 – 2 ³ 0,
тогда неравенство (*) принимает вид
х2 + х –2 < 0.
Пересечение множества решений этого неравенства и неравенства х2 –2 ³ 0 представляет собой первое множество решений исходного неравенства (рис 1): хÎ(-2; -].
2) Предположим, что х2 – 2 < 0, тогда согласно определению абсолютной величены имеем ½х2 - 2½= 2 – х2, и неравенство (*) приобретает вид
2 – х2 + х < 0.
| Рис. 1 |
 |
Решение неравенств, содержащих знак абсолютной величены, иногда можно значительно сократить, используя равенство ½х½2= х2.
Пример:Решить неравенство
½½ > 1. (*)
Решение: Исходное неравенство при всех х ¹ -2 эквивалентно неравенству
½х - 1½>½х + 2½. (**)
Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство
6х < -3,
т.е. х < -1/2.
Учитывая множество допустимых значений исходного неравенства, определяемого условием х ¹ -2, окончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех хÎ(-¥; -2)È(-2; -1/2).
Ответ: (-¥; -2)È(-2; -1/2).
Пример: Найти наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:
> 1.
откуда  | |
½х3 + х - 3½ - 5 £ х3 – х + 8, ½х3 + х - 3½£ х3 – х + 13½х3 + х - 3½ - 5 £ -х3 + х – 8 ½х3 + х - 3½³ - х3 + х – 3
х3 + х – 3 £ х3 – х + 13 х £ 8, 
х3 + х – 3 ³ -х3 + х – 13, х3³ -5, 
х3 + х – 3 ³ -х3 + х – 3, х3³ 0,х3 + х – 3 £ х3 – х + 3 х £ 3
-£ х £ 8, -£ х £ 8.х – любое
Ответ: -£ х £ 8.
Неравенства с параметрами.
Неравенства с параметрами являются наиболее трудными задачами курса элементарной математики. Это объясняется тем, что их решения следует получать при всех допустимых значениях входящих в них параметров.
Пример: Для всех значений а решить неравенство
aх > 1/x.
Решение: Запишем неравенство в виде
> 0,
тогда исходное неравенство эквивалентно двум системам неравенств:
ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0,
x > 0; x < 0.
Рассмотрим первую систему. Первое неравенство запишем в виде:
ax2 > 1.
При а > 0 оно эквивалентно неравенству х2 > 1/a, множество решений которого х < -1/и x > 1/. В этом случае решения первой системы: хÎ(1/;¥). При а £ 0 левая часть неравенства ах2 –1 > 0 отрицательна при любом х и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и вся система неравенств.
Рассмотрим вторую систему. При а > 0 решениями неравенства ах2 – 1<0 будут значения хÎ(-1/; 1/), а решениями системы ¾ значения хÎ(-1/; 0). При a£ 0 левая часть неравенства ах2 –1 < 0 отрицательна при
 |
любых значениях х, т.е. это неравенство выполняется при все хÎR и, следовательно, решениями системы будут значения хÎ(-¥; 0).
 |
Приведем графическую иллюстрацию решения этого примера.
Для этого рассмотрим отдельно два случая а > 0 и а £ 0 и для каждого из них построим графики функций, стоящих в левой и правой частях исходного неравенства. Заштрихованные промежутки оси Ох представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях.
Графическая иллюстрация облегчает решение уравнений и неравенств с параметрами.
Ответ: Если а £ 0, то хÎ(-¥; 0); если а > 0, то хÎ(-1/; 0)È(1/; ¥).
Пример: Решить неравенство:
¾ < .
Решение: Преобразуем данное неравенство: 3m2х + 3 – 2mx2 – 6 < m + 9x; mx2 – 9x < m + 3; (m – 3)(m + 3)x < m + 3. Далее находим решение неравенства при различных значения параметра m:
1) Пусть (m – 3)(m + 3) > 0, т.е. m < -3 или m > 3. Тогда неравенство имеет решение х < 1/(m – 3).