Рациональные уравнения и неравенства (стр. 7 из 11)
Ответ: x = -7 / 9.
Пример 12.62.
|1 – 2x| + |3x + 2| + |x| = 5.
Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнения в каждом из полученных интервалов:
 |
А) если x < – 2 / 3, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 < 0, x < 0 и уравнение переписывается так:
1 – 2x – 3x – 2 – x = 5, т.е. – 6x = 6, x = – 1 Î(–¥; – 2 / 3).
Б) если – 2 / 3 £ x < 0, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 ³ 0, x < 0 и поэтому имеем:
1 – 2x + 3x + 2 – x = 5, и т.к. 3¹ 5, то в промежутке [– 2 / 3; 0) корней нет.
В) если 0£ x < 0,5, то получаем: 1 – 2x + 3x + 2 + x = 5, т.е. 2x = 2; x = 1 Ï[0; 0,5).
Г) если 0,5 £ x, то – 1 +2x + 3x + 2 + x = 5, 6x = 4, x = 2 / 3 Î(0,5; ¥).
Ответ: x1 = – 1; x2 = 2 / 3.
Пример 12.63.
| x | + | x – 1 | = 1.
Решение. (x – 1) = 0, x = 1; Þполучаем интервалы:
A) x Î(-¥; 0), тогда – x – x +1 = 1; – 2x = 0; x = 0 Ï(-¥; 0).
Б) x Î[0; 1), тогда x – x +1 = 1; 1 = 1 Þ x — любое число из [0; 1).
В) x Î[1; ¥), тогда x + x – 1 = 1; 2x = 2; x = 1 Î[1; ¥).
Ответ: x Î[0; 1].
Основные методы решения рациональных уравнений.
1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений — приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по выведенной нами формуле
 |
Также используется теорема Виета: x1 + x2 = – b / a; x1x2 = c / a.
2) Группировка: путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа — ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.
3) Подстановка:ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно что удобно обозначить. Например, уравнение
(x2 + x – 5) / x + 3x / (x2 + x – 5) + 4 = 0,
легко решается с помощью подстановки (x2 + x – 5) / x = t, получаем t + (3 / t) + 4 = 0.
Или: 21 / (x2 – 4x + 10) – x2 + 4x = 6. Здесь можно сделать подстановку x2 – 4 = t. Тогда 21 / (t + 10) - t = 6 и т.д.
В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований. Например, дано уравнение
(x2 + 2x)2 – (x +1)2 = 55.
Переписав его иначе, а именно (x2 + 2x)2 – (x2 + 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x2 + 2x=t.
Имеем t2 – t – 56 = 0, t1 = – 7, t2 = 8. Осталось решить x2 + 2x = – 7 и x2 + 2x = 8.
В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать “заранее”. Например
1) Уравнение (x + a)4 + (x + b)4 = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку
x = t – (a + b) / 2.
2) Симметрическое уравнение (возвратное) a0xn + a1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1 / x = t, если n —чётное; если n — нечётное, то уравнение имеет корень x = – 1.
3) Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится к квадратному, еслиa + b = c + d и т.д.
4) Подбор: при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения anxn + an – 1xn – 1 + …+ a1x + a0 = 0 ищем в виде p / q, где p — делитель a0, q — делитель an, p и q взаимно просты, pÎZ, qÎN.
5) “Искусство”, т.е. решать пример нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.
6) Уравнения с модулем: при решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что
f (x), еслиf (x) ³ 0,| f (x) | =
– f (x), еслиf (x) < 0.
Рациональные неравенства.
Пусть ¦(c) ¾ числовая функция одного или нескольких переменных (аргументов). Решить неравенство
¦(c) < 0 (¦(c) > 0) (1)
¾ это значит найти все значения аргумента (аргументов) функции ¦, при которых неравенство (1) справедливо. Множество всех значении аргумента (аргументов) функции ¦, при которых неравенство (1) справедливо, называется множеством решении неравенства или просто решением неравенства.
Множество решении нестрого неравенства
¦(c) £ 0 (¦(c) ³ 0) (2)
представляет собой объединение множества решении неравенства (1) и множества решении уравнения ¦(c) = 0.
Два неравенства считаются эквивалентными, если множества их решении совпадают.
Под множеством допустимых значении неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения функции ¦(c).
Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных функции ¦i(c), могут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств¾ это значит найти множество всех значении аргументов функции ¦i(c), при которых справедливы все неравенства системы одновременно.
Говорят, что системы неравенств эквивалентны, если множества их решении совпадают.
Свойства равносильных неравенств.
При решении неравенств используют свойства равносильности.
Неравенства с одной переменной называются равносильными, если множества их решении совпадают.
Например, неравенства 3х > 6 и х – 2 > 0 имеют одинаковые множества решении хÎ[2; +¥]. Эти неравенства – равносильные.
Неравенства х > 0 и х2> 0 – неравносильные, так как решение первого неравенства есть множество хÎ[0; +¥], а решение второго неравенства есть множество хÎ[-¥; 0]È[0; +¥]. Эти множества не совпадают.
При решении неравенств выполняются только такие преобразования, при которых получаются более простые равносильные неравенства. Эти преобразования возможны при выполнении следующих свойств равносильных неравенств.
Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или одно и то же выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.
Дано. Р(х) > Q(x) – неравенство, Т(х) – выражение, которое имеет смысл при всех действительных значениях х, хÎR.
Доказать. Неравенства Р(х) > Q(x) и Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x) – равносильные.
Доказательство. а) Пусть при х = а неравенство Р(а) > Q(a) – верное числовое равенство, т.е. х =а – одно из решении неравенства Р(х) > Q(x), Т(а) – значение Т(х) при х =а.
По свойству числовых неравенств Р(а) + Т(а) >Q(a) + T(a) – верное числовое неравенство.
Следовательно, х = а – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x). Поэтому, если х =а есть решение первого неравенства, то это значение есть также решение второго неравенства.
б) Пусть х = b – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x), т.е. P(b) + T(b) > Q(b) + T(b) –верное числовое неравенство. По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство. Следовательно, х = b – решение неравенства P(x) > Q(x).
Так как множества решений неравенства P(x) > Q(x) и P(x) + T(x) > > Q(x) + T(x) совпадают, то эти неравенства равносильные.
Свойство 2. Если в неравенстве любое слагаемое, которое имеет смысл при вех хÎR, перенести из одно части в другую с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильно данному.
Дано. P(x) + T(x) > Q(x) – неравенство, Т(х) – слагаемое, которое имеет смысл при всех хÎR.
Доказать. Неравенства P(x) + T(x) > Q(x) и P(x) > Q(x) – T(x) – равносильные.
Доказательство. По свойству 1 можно к обеим частям неравенства P(x) + T(x) > Q(x) прибавить слагаемое (-Т(х)), так как это слагаемое имеет смысл при всех хÎR; получим равносильное неравенство:
P(x) + T(x) – T(x) > Q(x) – T(x), отсюда P(x) > Q(x) – T(x).
Свойство 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число или на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.
Дано.P(x) > Q(x) – неравенство (1),
T(x) > 0, xÎR,
P(x)×T(x) > Q(x)×T(x) – неравенство (2).
Доказать. Неравенства (1) и (2) равносильные.
Доказательство. Пусть при х = а P(a) > Q(a) – верное числовое неравенство, т.е. х = а – одно из решении первого неравенства. T(a) – значение Т(х) при х = а Т(а) > 0.
По свойству числовых неравенств P(a)×T(a) > Q(a)×T(a) – тоже верное числовое неравенство, т.е. х = а –одно из решении первого неравенства. Следовательно, если х= а – решение первого неравенства, то х = а – также решение второго неравенства.
Пусть при х = b неравенство P(b)×T(b) > Q(b)×T(b) – верное числовое неравенство, т.е. х = b – одно из решении второго неравенства.
По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство, так как T(b) > 0. Следовательно, х = b – одно из решении первого неравенства.
Поскольку множества решении первого и второго неравенств совпадают, то они равносильные.
Свойство 4. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число или на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Это свойство доказывается аналогично 3 свойству.
Алгебраические неравенства.
Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида
ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ³ 0, ax + b £ 0, a ¹ 0,
решениями которых будут:
при a> 0
xÎ(- ; ¥ ), xÎ( -¥; - ), xÎ[ - ; ¥ ), xÎ( -¥; - ],
при а < 0
xÎ( -¥; - ), xÎ( - ; ¥), xÎ( -¥; - ], xÎ[ - ; ¥ ).
Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида
ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0,
ax2 + bx + c ³ 0, ax2 + bx + c £ 0,
где a, b, c ¾некоторые действительные числа и а ¹ 0.
Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости от значении своих коэффициентов a, b и c имеет решения: