Рациональные уравнения и неравенства (стр. 5 из 11)
Пусть (x + 1) / (x2 – x + 1) = t, тогда 3 – 5t – 2t2 = 0, т.е. t1 = – 3; t2 = 0,5. Следовательно:
(x + 1) / (x2 – x + 1) = 0,5 = 1 / 2; 2x + 2 = x2 – x + 1; x2 – 3x – 1 = 0; x1,2 = (3 ±Ö13) / 2,
(x + 1) / (x2 – x + 1) = – 3; x + 1 = – 3x2 + 3x – 3; 3x2 – 2x + 4 = 0; D = 4 – 48 < 0, Þ x ÎÆ.
Ответ: x1,2 = (3 ±Ö13) / 2.
Решение симметрических систем уравнений.
Напомним, что многочлен P (x, y) называется симметрическим, если P (x , y) = P (y, x).
При решении систем уравнений вида
 |
P1 (x, y) = 0,
P2 (x, y) = 0,
где P1 (x, y) и P2 (x, y) — симметрические многочлены, полезной оказывается такая замена неизвестных:x + y = U, xy = V. Напомним, что любой симметрический многочлен P (x, y) можно представить как выражение от U и V.
Пример 9.40. Решить систему уравнений
x2 + xy + y2 = 49,x + y + xy = 23.
Решение. Заметим, что:
x2 + xy + y2 = x2 + 2xy + y2- xy = (x + y)2- xy.
Сделаем замену неизвестных:x + y = U, xy =V. Система примет вид:
U2- V = 49,U + V = 23.
Сложив эти уравнения, получим уравнение U2 + U - 72 = 0 с корнями U1 = 8,U2 = -9. Соответственно V1 = 15, V2 = 32. Остаётся решить системы уравнений:
x + y = 8,xy = 15,
x + y = - 9,xy = 32.
Система x + y = 8, имеет решения:x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.xy = 15.
Система x + y = - 9, действительных решений не имеет.xy = 32.
Ответ: x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.
Пример 9.41. Решить систему
1 / x + 1 / y = 5,1 / x2 + 1 / y2 = 13.
Решение. Сначала введём неизвестные X и Y:
X = 1 / x, Y = 1 / y,
а затем U и V: U = X + Y = 1 / x + 1 / y, V = XY = 1 / xy.
Получается система:
U = 5,U2- 2V = 13,
из которой U = 5, V = 6. Далее решая систему
X + Y = 5,XY = 6,
находим X1 = 2, Y1 = 3; X2 = 3, Y2 = 2, откуда получаем x1 = 1 / 2, y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2. Можно сразу ввести неизвестные U = x + y, V = xy, получится система
U = 5V,U2- 2V = 13V2,
Приводящая к тем же решениям исходной системы.
Ответ: x1 = 1 / 2, y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2.
Уравнения и системы уравнений с параметрами.
Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т.е. одно уравнения с параметрами задаёт множество уравнений (для всех возможных значений параметров).
Например, линейное уравнение ax + b = c с неизвестным x можно рассматривать как уравнение с параметрами a, b, и c. Его решением при a ¹ 0 является x = (c - b) / a. Если a = 0, то получается “уравнение” b = c, и если действительно b = c, то корнями данного уравнения являются все действительные числа. Если же b ¹ c, при этом a = 0, то данное уравнение корней не имеет.
Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Не приводя подробных определений, рассмотрим случай в качестве примеров следующие объекты:
· функция прямая пропорциональность:y = kx (x и y — переменные; k — параметр,k ¹ 0);
· линейная функция:y = kx + b (x и у — переменные, k и b —параметры);
· линейное уравнение:ax + b = 0 (x — переменная;a и b —параметры);
· уравнение первой степени:ax + b = 0 (x — переменная; a и b — параметры, a ¹ 0);
· квадратное уравнение:ax2 + bx + c = 0 (x — переменная;a, b и c — параметры, a ¹ 0).
Решить уравнение с параметрами означает следующее:
1) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
2) Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.
Ответ к задаче “решить уравнение с параметрами” должен выглядеть следующим образом: уравнение при таких-то значениях параметров имеет корни …, при таких-то значениях параметров — корни …, при остальных значениях параметров уравнение корней не имеет.
Пример 10.42. Решим уравнение px = 6 с неизвестным x и параметром p. Если p ¹ 0, то можно разделить обе части уравнения на p, и тогда мы находим корень уравнения x = 6 /p. Если p = 0, то уравнение корней не имеет, потому что 0×x = 0 для любого x.
Ответ: при p ¹ 0 уравнение имеет единственный корень x = 6 / p; при p = 0 уравнение корней не имеет.
Пример 10.43. Сравнить: -a и 3a.
Решение. Естественно рассмотреть три случая:
Если a < 0, то -a > 3a;
Если a = 0, то -a = 3a;
Если a > 0, то -a < 3a.
Пример 10.44. Решить уравнения ax = 1.
Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ:x = 1 / a. Однако при a = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:
Ответ: Если a = 0, то нет решений; если a ¹ 0, то x = 1 / a.
Пример 10.45. Решить уравнение (a2 - 1)x = a + 1.
Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достачно рассмотреть такие случаи:
1) a = 1; тогда уравнение принимает вил 0x = 2 и не имеет решений;
2) a = -1; получаем 0x = 0, и очевидно x — любое.
3) a ¹±1; имеем x = 1 / (a - 1).
Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы “ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа — это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, мы считаем целесобразным привести
Ответ: Если a = -1, то x — любое число;a = 1, то нет решений; если a ¹±1, то x = 1 / (a - 1).
Пример 10.46. При каких a уравнение ax2- x + 3 = 0 имеет единственное решение?
Решение. Прежде всего обратим внимание на распространённую ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени, не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда a = 0, то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же a ¹ 0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 - 12a принимает значение, равное нулю, при a = 1 / 12.
Ответ: a = 0 или a = 1 / 12.
Пример 10.47. при каких a уравнение (a - 2)x2 + (4 - 2a)x + 3 = 0 имеет единственное решение?
Решение. Понятно, что надо начинать со случая a = 2. Но при a = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если a ¹ 2, то данное уравнение — квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра — это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при a = 2 или a = 5. Поскольку мы установили, что a = 2 не подходит, то
Ответ: a = 5.
Вероятно, в двух последних примерах ничего сложного нет (тем более, ели они уже решены). Однако, на наш взгляд, параметр в этих задачах проявляет своё “коварство”, особенно для начинающих. Поэтому полезно рассмотреть ещё несколько примеров, где параметр “расставляет ловушки”.
Пример 10.48. При каких значениях a уравнение ax2 + 4x + a + 3 = 0 имеет более одного корня?
Решение. При a = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При a¹0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 16 - 4a2- 12a — положительный. Отсюда получаем -4 < a < 1. Однако в полученный промежуток (-4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.
Ответ: -4 < a < 0 или 0 < a < 1.
Пример 10.49. При каких a уравнение a(a + 3)x2 + (2a + 6)x - 3a - 9 = 0 имеет более одного корня?
Решение. Стандартный шаг — начать со случаев a = 0 и a = -3. При a = 0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при a = -3 решением уравнения служит любое действительное число. При a = -3 решением уравнения служит любое действительное число. При a ¹-3 и a ¹ 0, разделив обе части данного уравнения на a + 3, получим квадратное уравнение ax2 + 2x - 3 = 0, дискриминант которого 4(1 + 3a) положителен при a > -1 / 3. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из промежутка (-1 / 3; ¥) надо исключить точку a = 0, а в ответ не забыть включить a = -3.
Ответ: a = -3 или -1 / 3 < a < 0, или a > 0.
Пример 10.50. При каких значениях a уравнение (x2- ax + 1) / (x + 3) = 0 имеет единственное решение?
Решение. Данное уравнение равносильно системе
x2- ax + 1 = 0,x ¹-3.
Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения, естественно приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие x ¹-3 должно привлечь внимание. И “тонкий момент” заключается в том, что квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но обязательно только один из них должен равняться -3. Имеем D = a2- 4, отсюда D = 0, если a = ±2; x = -3 — корень уравнения x2- ax + 1 = 0 при a = -10 / 3, причём при таком значении a второй корень квадратного уравнения отличен от -3.
Ответ: a = ±2 или a = - 10 / 3.
Пример 10.51. При каких a уравнение ax2 = a2 равносильно неравенству
|x - 3|³ a?
Решение. При a ¹ 0 уравнение имеет единственное решение, а неравенство — бесконечно много. Если a = 0, то решением как уравнения, так и неравенства является всё множество действительных чисел. Следовательно, требованию задачи удовлетворяет только a = 0.