Атомические разложения функций в пространстве Харди (стр. 11 из 13)
где 
- центр обобщенного интервала 
. Из последнего соотношения, учитывая, что 
и 
, мы находим 
, 
, где 
.Следовательно,
.Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.
Необходимость.
Построим для данной функции
разложение (70), для которого 
.Пусть функция
с 
такова, что выполнено соотношение (65), и пусть 
( 
) - нетангенциальная максимальная функция для 
, т.е. 
, 
, (75')где
- область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки 
к окружности 
, и наибольшей дугой окружности , заключенной между точками касания.Теорема 7 утверждает, что
, поэтому нам достаточно найти такое разложение функции 
на атомы (70), что 
, (76)где постоянные С и
( ) не зависят от 
. Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число : пусть, например, 
. Не ограничивая общности, мы можем считать, что 
. (77)Рассмотрим на отрезке
множества 
, 
, 
(78)Так как при любом
множество точек единичной окружности 
открыто, то ясно, что при множество 
(если оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов: 
, 
при 
, 
, 
. (79)Положим
и при 
(80)Так как
конечна для п.в. , то из определения функций 
, , следует, что для п.в. 
при 
, а значит, для п.в. 
.Отсюда, учитывая, что
, а следовательно из (80), 
при 
, мы находим, что 
, (81)где
- характеристическая функция множества . Из (81), учитывая, что , мы для функции получаем следующее разложение: 
для п.в. , (82)где
, 
, 
(83)С помощью функций
мы и построим нужное нам разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при ,
, 
. (84)Докажем теперь, что для п.в.
, , (85)где постоянная
зависит только от числа , зафиксированного нами ранее.Так как из (65) и (75')
для п.в. , то из (77) следует, что 
.Пусть теперь
, 
- один из обобщенных интервалов в представлении (79), тогда из (77) и (78) 
, и если 
, 
- концевые точки дуги 
( 
) , то 
, а значит, 
, 
. (86)Из неравенств (86) согласно (75') следует, что
при 
. (87)Легко видеть (учитывая, что
и ) , что множества 
и 
пересекаются в одной точке: