Атомические разложения функций в пространстве Харди (стр. 8 из 13)
Чтобы получить в), положим
, 
.Согласно теореме 5
, 
, а следовательно, 
. Но тогда (для п.в. 
) 
, и из определения класса 
мы получим, что 
. (48)Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).
Замечание 3.
Если
, то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство 
совпадает с 
. Для р=1 это не так. Пространство 
уже, чем 
, и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций 
, для которых и 
. - банахово пространство с нормой 
. (49)Полнота
с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты пространства : если 
при 
, то 
, 
, 
, и так как 
по мере при 
, то 
и 
при .Замечание 4.
Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда
, 
, 
, .Отметим также, что, взяв в (47) вместо
функцию 
и учитывая б), мы получим 
, если 
. (50)§I.4.Произведение Бляшке,
нетангенциальная максимальная функция.
Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) -
удовлетворяет условию 
, 
, 
. (51)Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)
. (52)Для фиксированного
, 
, при 
имеет место оценка 
. (53)Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге
, т.е. функция 
аналитична в единичном круге и имеет нули в точках 
, , и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством 
( 
, ), мы находим 
, . (54)Допустим теперь, что
( ) - нули некоторой функции 
с 
, причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим 
, 
Функция
( ) аналитична в круге радиуса больше единицы, и 
, если 
. Следовательно, 
и согласно п.3 теоремы 4 
. Но тогда 
и
, (55)Так как
, , то из (55) вытекает сходимость произведения 
, а значит, и сходимость ряда (51).ОпределениеI.6.
Пусть
- аналитическая в круге 
функция и , ( 
) - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также 
- кратность нуля функции 
при 
. Произведение 
(56)называется произведением Бляшке функции
.Справедлива
Теорема 6.
Каждая функция
представима в виде 
,где
не имеет нулей в круге и 
, 
,а
- произведение Бляшке функции .Доказательство.
Пусть
, ( ) - нули функции ( или, что то же самое, нули функции 
) Тогда, как отмечалось выше, - аналитическая в круге функция и