Атомические разложения функций в пространстве Харди (стр. 13 из 13)
,откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.
Следствие 2.
Если
, то 
и 
. (95)Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что
для произвольного обобщенного интервала
.Доказательство теоремы 9.
а) Пусть
. Положим 
Так как всегда
, то, учитывая равенства 
, 
, 
,мы с помощью следствия 2 находим
, 
(96)Допустим, что
( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение 
, 
, (97)где функции
являются атомами и 
, и при 
, 
, 
. (98)Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при
.Отсюда, учитывая, что функции
, , по модулю не превосходят суммируемой функции 
и для п.в. 
, мы получим, что 
.Таким образом, равенством
, 
, (99)определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в
линейном многообразии (плотность функций из 
в вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции 
частные суммы разложения (70) сходятся к 
по норме , и, очевидно, принадлежат пространству ). Поэтому функционал 
можно единственным образом продолжить на все пространство : 
, . (100)Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции
ряд (94) сходится и его сумма равна 
. Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме к 
: 
.б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на
. Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции 
(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на
, а следовательно, найдется функция 
с 
, (101)для которой
, . (102)В частности, равенство (102) выполняется, если
- произвольный атом. Докажем, что 
. (103)Пусть I - произвольный обобщенный интервал,
- произвольная функция с 
. Тогда функция 
, ,является атомом и в силу теоремы 8
. Поэтому 
.Подбирая в последнем неравенстве функцию
оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала I 
,что с учетом соотношения
доказывает оценку (103).Таким образом, для
значение функционала 
совпадает со значением ограниченного линейного функционала на элементе (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство плотно в , то, следовательно, 
для любой функции .Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.
Литература
1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.
3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.: Наука, 1988. —815с.
4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1961. —936с.
5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. — 415с.
6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.
7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука, 1964.—т.2,—463с.
8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.
*) Мы считаем , что f (x) = 0 , если |x| > p .
*) Так как функция определялась для функций , заданных на , то мы дополнительно полагаем , если ; при и при .
*) В силу условий а) и в) в определении 9 , , поэтому ряд (70) сходится по норме пространства и п.в.
*) Возможен случай, когда при .