Атомические разложения функций в пространстве Харди (стр. 6 из 13)

. Наконец, из 1) следует, что

а тогда

Пусть

. Для построения искомой функции

положим

Функции

, имеют равномерно ограниченную по r вариацию на

Следовательно, по теореме Хелли [2] найдутся функция ограниченной вариации

и последовательность

, такие, что

в каждой точке

(32)

для любой функции

. При этом для n=1,2,...

(мы учли аналитичность функции F(z) в единичном круге) и , следовательно, по теореме 3

абсолютно непрерывна : существует функция

, для которой

Тогда

(33)

Зафиксируем число

. Функция

, аналитична в круге

, поэтому согласно утверждению 1

В пределе при

из последнего равенства вытекает, что

Равенство 1) , а вместе с ним и теорема 4 доказаны.

§I.3.Пространства

Обозначим через

класс тех функций

, которые являются граничными значениями функций из

, т.е. представимы в виде

для п.в.

В силу пунктов 3) и 2) теоремы 4

и каждая функция

удовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы доказали, что для произвольной

с условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет функцию из

. Следовательно,

. (34)

Из (34) вытекает, что

(замкнутое) - подпространство пространства

, а

- банахово пространство с нормой (15).

Пусть

. Положим

, (35)

ОпределениеI.5.

Если функция

, то сопряженной к ней функцией называется функция

где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел при

интегралов

В дальнейшем нам понадобится

Утверждение2.

Для любой функции

сопряженная функция

существует и конечна п.в. на

; при этом

а)

, y>0;

б) если

, то

Теорема 5.

Следующие условия эквивалентны

а)

;

б)

;

в)

;

г)

, где

- такая действительная функция, что ее сопряженная

также принадлежит пространству

. (36)

Доказательство:

Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.

Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :

, имеют место равенства

(37)

Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что

. Следовательно, равенства (37) выполняются, если

- произвольный тригонометрический полином.