Атомические разложения функций в пространстве Харди (стр. 9 из 13)
, 
. (57)При этом функция
также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и 
.Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56):
, 
, 
.Так как
для любого 
, то по теореме 4 
и
, если 
.Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что
( 
) равномерно по , мы получим 
, ,т.е.
, 
.Теорема 6 доказана.
ОпределениеI.7.
Пусть
, 
, - произвольное число. Обозначим через 
, , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки 
к окружности 
, и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при 
вырождается в радиус единичного круга). Для 
положим 
, ,где
- интеграл Пуассона функции 
. Функция 
называется нетангенциальной максимальной функцией для .В силу теоремы 2
для п.в. . (58)Установим, что для произвольной функции
величина не превосходит (по порядку) значения максимальной функции 
*) в точке х, т.е. 
, . (59)Нам понадобится
утверждение 3.
а) если функция
, то для любого 
;б) если функция
, 
то 
,где
- постоянная, зависящая только от числа р.Пусть
и 
. По определению интеграла Пуассона 
Положим
. Тогда будем иметь 
и, в силу неравенства
, 
, и периодичности 
, 
. (60)Так как обе функции
и 
положительны при 
и отрицательны при 
( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что 
, мы получим 
. (61)Для
имеют место оценки 
, 
.Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что
при 
, (62)если
. Пусть 
, тогда 
.В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции
, 
, 
, (63)где
- постоянная, зависящая только от 
.Теорема 7.
Пусть
( 
), и 
, . 
Тогда 
и 
. (64)Доказательство.
Утверждение теоремы 7 в случае, когда
, есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь 
. По теореме 6 
, где 
, 
, если и . Из функции 
можно извлечь корень: существует функция 
такая, что 
, и, следовательно из (64) при р=2, получим