Курс лекций по теории вероятностей (стр. 5 из 20)

Итак, мы определили специальный класс Ψ подмножеств пространства элементарных исходов Ω, названный σ -алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как объединение, пересечение, дополнение) к множествам из Ψ снова дает множество из Ψ (не выводит за рамки этого класса). Множества АÎΨ мы и назвали «событиями».

Определим теперь понятие «вероятности» как функции, определенной на множестве событий (то есть функции, которая каждому событию ставит в соответствие число). А чтобы читателю сразу стало понятно, о чем пойдет речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру, заданную на σ -алгебре Ψ подмножеств Ω.

3.2 Вероятность как нормированная мера

Определение 11.

Пусть Ω — некоторое множество и Ψ — σ -алгебра его подмножеств. Функция μ:Ψ → RU{∞} называется мерой на (Ω, Ψ), если она удовлетворяет условиям:

(M1) Для любого множества АÎΨ его мера неотрицательна: μ(А)≥ 0.

(M2) Для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств А₁, А₂…ÎΨ мера их объединения равна сумме их мер:

(«счетная аддитивность» или «σ -аддитивность»). Иначе говоря, мера есть неотрицательная, счетно-аддитивная функция множеств.

Определение 12.

Пусть Ω — некоторое множество и Ψ — σ-алгебра его подмножеств. Мера μ:Ψ → Rназывается нормированной, если μ(Ω) = 1. Другое название нормированной меры — «вероятность» или «вероятностная мера».

То же самое еще раз и подробно:

Определение 13.

Пусть Ω — пространство элементарных исходов и Ψ — σ -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью или вероятностной мерой на (Ω, Ψ), называется функция P Ψ → R, обладающая свойствами:

(P1) Для любого события АÎΨ выполняется неравенство P(А)≥ 0;

(P2) Для любого счетного набора попарно несовместных событий А₁, А₂…ÎΨ имеет место равенство

(P3) Вероятность достоверного события равна единице: P(Ω) = 1.

Свойства (P1)–(P3) часто называют «аксиомами вероятности».

Определение 14.

Тройка (Ω, Ψ,Р), в которой Ω — пространство элементарных исходов, Ψ — σ -алгебра его подмножеств и P — вероятностная мера на Ψ, называется вероятностным пространством.

Выпишем свойства вероятности:

0.

1. Для любого конечного набора попарно несовместимых событий А₁, А₂…Î Ψимеет место равенство

2.

3. Если

, то

4. Если

, то

5.

6.

7.

8.

9.

(2)

Раздел 4. Условная вероятность, независимость

4.1 Условная вероятность

Пример 13. Кубик подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трех очков. Какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?

В данном случае пространство элементарных исходов состоит из трех равновозможных элементарных исходов: Ω = {4, 5, 6}, и событию A = {выпало четное число очков} благоприятствуют 2 из них: A = {4, 6}. Поэтому P(A) = 2/3.

Посмотрим на этот вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Слова «известно, что выпало более трех очков» означают, что в эксперименте произошло событие B = {4, 5, 6},. Слова «какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении B происходит и А. Вероятность события А, вычисленную в предположении, что нечто о результате эксперимента уже известно (событие B произошло), мы будем обозначать через P(A/B)

Мы хотим вычислить отношение числа исходов, благоприятствующих А внутри B (то есть благоприятствующих одновременно A и B), к числу исходов, благоприятствующих B.

Определение 15. Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В, называется число

Будем считать, что условная вероятность определена только в случае, когда P(В) > 0.

Следующее свойство называется "теоремой умножения":

Теорема 6. P(A∩B) = P(B)P(A\B) = P(A)P(B\A), если соответствующие условные вероятности определены (то есть если P(В) > 0, P(A) > 0).

Теорема умножения для большего числа событий:

Теорема 7.P(A₁ ∩ A₂ ∩…∩ A_n) = P(A₁) P(A₂\A₁) P(A₃ \A₁ ∩A₂)… P(A_n \A₁∩…∩A_n-1)если соответствующие условные вероятности определены.

4.2 Независимость

Определение 16. События A иB называются независимыми, если P(A∩B) = P(A)P(B)

Пример 14.

1. Точка с координатами ξ, η бросается наудачу в квадрат со стороной 1. Доказать, что для любых х, у ÎR события A = { ξ <x} иB= { η <y}независимы.

2. Точка с координатами ξ, η бросается наудачу в треугольник с вершинами (1,0), (0,0) и (0,1). Доказать, что события A = { ξ <1/2} и B= { η <1/2} зависимы.

1. Рассмотрим х, у Î [0,1]). Видим, что P(A) = x, P(B) = y, P(A∩B) = xy, так что A = { ξ <1/2} и B= { η <1/2} независимы.

2. На рисунке видим, что P(A) = 3/4, P(B) = 3/4 P(A∩B) = 1/2ч≠ (3/4)², так что события A = { ξ <1/2}и B= { η <1/2} зависимы.

Замечание 8. Если события A и B несовместны, то они независимы, если и только если P(A) = 0или P(B) = 0

Следствие 2. Если P(B) > 0, то события А и В независимы P(А&bsol;В) =Р(А)

Если P(А) > 0, то события А и В независимы P(В&bsol;А) =Р(В)

Лемма 1. Если события А и В независимы, то независимы и события

.

Определение 17. События А₁, А₂…А_nназываются независимыми в совокупности, если для любого набора

1 ≤ i₁, i₂…i_k ≤ n

)(3)

Замечание 9. Если события А₁, А₂…А_n независимы в совокупности, то они попарно независимы, то есть любые два события А_i, А_jнезависимы. Достаточно в равенстве (3) взять k =2. Обратное, как показывает следующий пример, неверно.

Пример 15 (Пример С. Н. Бернштейна).

Рассмотрим правильный тетраэдр, 3 грани которого окрашены, соответственно, в красный, синий, зеленый цвета, а четвертая грань содержит все три цвета. Событие A, (B, C) означает, что выпала грань, содержащая красный (синий, зеленый) цвета.

Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырех. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань содержит два цвета. А так как 1/4 = 1/2 1/2, то все события попарно независимы.

Но вероятность пересечения всех трех тоже равна 1/4, а не 1/8, то есть события не являются независимыми в совокупности.

Заметьте, что равенство (6) выполнено для k = 2, но не выполнено для k = 3.

4.3 Формула полной вероятности

Пример 16. Есть 3 завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1-й завод производит 25%, 2-й завод — 35% и 3-й завод — 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти а) вероятность купить бракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено 1-м заводом, если это изделие бракованное.

Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всей продукции, то есть

0,05*0,25 + 0,03*0,35 + 0,04*0,4.

Вторая вероятность равна доле брака 1-го завода среди всего брака, то есть