Курс лекций по теории вероятностей (стр. 8 из 20)

Погрешность не более 0,009 (при вероятности около 0,001). Во всяком случае, можно утверждать, что искомая вероятность никак не больше, чем 0,01=0,001+0,009.

Рассмотрим еще одну формулу приближенного вычисления p_n (m) когда n велико. В отличии от предыдущего результата число успехов m в этом случае тоже растет с ростом n, а вероятность успеха постоянна.

Локальная теорема Муавра – Лапласа

Пусть

.Предположим, что

и величины

являются ограниченными. Тогда

В частности, если

, то

Доказательство:

В силу ограниченности величин

разность

вместе с n и mВоспользуемся формулой Стирлинга

В силу определения

Раздел 6. Случайные величины и их распределения

6.1 Случайные величины

Мы уже видели, что для очень многих экспериментов нет никаких различий в подсчете вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самых разных элементарных исходов использовать, например, числа. То есть ввести соответствие (иначе говоря, отображение) между элементарными исходами и вещественными числами (с ними удобно работать).

Пусть имеется случайный эксперимент и задано вероятностное пространство (Ω, Ψ,Р).

Определение 23. Функция ξ: Ω →R называется случайной величиной, если для любого х ÎR множество { ξ < x} = {ω: ξ(ω) < x} является событием, то есть принадлежит σ-алгебре событий Ψ.

Замечание 10. Можно смело считать, что любое множество элементарных исходов есть событие, и, следовательно, случайная величина есть произвольная функция из Ω в R. Никаких неприятностей на практике это обычно не влечет.

Определение 24. Будем говорить, что функция ξ: Ω →R является Ψ -измеримой, если {ω: ξ(ω) < x} принадлежит Ψ для любого х ÎR.

Итак, случайная величина есть Ψ - измеримая функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу ωÎ Ω число ξ(ω) ÎR.

Пример 21. Подбрасываем 1 раз кубик. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , и две функции из Ω в заданы так: ξ(ω)= ω , η(ω)= ω².

Если Ψ есть множество всех подмножеств Ω, то ξ и η являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит Ψ, в том числе и {ω: ξ(ω) < x} или {ω: η (ω) < x} . Можно записать соответствие между значениями случайных величин ξ и η вероятностями принимать эти значения в виде «таблицы распределения вероятностей» или, коротко, «таблицы распределения»:

ξ	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

η	1	4	9	16	25	36
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Здесь 1/6 = Р(ξ=1)=…= Р(ξ=6) = Р(η =1)= …= Р(η =36)

Пусть σ -алгебра событий Ψ состоит всего из четырех множеств:

Ψ= { Ω ,Æ, {1,3,5},{2,4,6} }

то есть событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение четного (соответственно, нечетного) числа очков. Убедимся, что при такой «бедной» σ -алгебре ни ξ, ни η не являются случайными величинами, так как эти функции не Ψ - измеримы. Возьмем (например) x = 3,967. Видим, что

{ωÎ Ω: ξ(ω) < 3,967}= {1, 2, 3}ÏΨи{ωÎ Ω: η (ω) < 3,967}= {1}ÏΨ

Теперь попробуем понять, зачем нужна Ψ - измеримость и почему требуется, чтобы {ω: ξ(ω) < x} являлось событием.

Если задана случайная величина ξ, нам может потребоваться вычислить вероятности типа

P(ξ = 5) = P{ω: ξ(ω) = 5},

P (ξ Î [-3,7]),

P(ξ ³ 3,2),

P(ξ > 0)

(и вообще самые разные вероятности попадания в различные множества на прямой). Это возможно только если множества, стоящие под знаком вероятности, являются событиями (напомню, что вероятность есть функция из σ - алгебры событий в [0,1]).

Но если потребовать, чтобы A_x ={ω: ξ(ω) < x} было событием при любом x, то мы из свойств σ - алгебры сразу получим, что

— событие, и

— событие,

и {ω: ξ(ω) = x}= B_x \A_x — событие, (7)

и т.д., и т.п. (операции пересечения, объединения, дополнения событий не выводят из класса событий).

Можно потребовать в определении 23 чего-нибудь другого. Например, чтобы событием было попадание в любой интервал: (ω: ξ(ω) Î [a, b]) для любых a < b.

Или чтобы {ω: ξ(ω) ³x}было событием для любого x. Любое такое определение эквивалентно исходному.

Опишем различные типы распределений случайных величин. Под распределением случайной величины мы будем понимать соответствие

«значение случайной величины ↔ вероятность принимать это значение»,

либо (чаще)

«множество на прямой ↔ вероятность случайной величине попасть в это множество».

6.2 Дискретные распределения

Определение 25. Говорят, что случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел {a₁, a₂, …} такой, что:

а) p_i =P{ ξ = a_i} > 0для всехi;

б)

То есть случайная величина ξимеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений.

Определение 26. Если случайная величина ξ имеет дискретное распределение, назовем таблицей распределения соответствие a_i ↔ p_i, которое чаще всего рисуют так:

ξ	а₁	а₂	а₃	…
Р	р₁	р₂	р₃	…

6.3 Примеры дискретных распределений

Вырожденное распределение.

Говорят, что случайная величина ξ имеет вырожденное распределение с параметром а, и пишут ξÎI_a если ξпринимает единственное значение а с вероятностью 1, то есть P(ξ = a) = 1. Таблица распределения ξимеет вид

ξ	а
Р	1

Распределение Бернулли.

Говорят, что случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром р, и пишут ξÎВ_р, если ξ принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и 1 - р, соответственно. Случайная величина ξс таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха (0 успехов или 1 успех). Таблица распределения ξ имеет вид

ξ	0	1
Р	(1-p)	р

Биномиальное распределение.

Говорят, что случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где 0 £p£, n и пишут ξÎВ_n_,_р, если ξпринимает значения 0, 1, …,n с вероятностями P(ξ = k) = C_n^kp^k (1-p)ⁿ^-^k . Случайная величина ξс таким распределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р .

Таблица распределения ξ имеет вид

ξ	0	1	…	k	…	n
Р	(1-p)ⁿ	n p(1-p)^n-1	…	C_n^k p^k (1-p)^n-k	…	Pⁿ

Геометрическое распределение.