Курс лекций по теории вероятностей (стр. 9 из 20)
Говорят, что случайная величина τ имеет геометрическое распределение с параметром р, где 0 £ p £, n, и пишут τ ÎGр, если τ принимает значения 1, 2, 3, …с вероятностями P(τ = k) = p (1-p)k-1. Случайная величина τ с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха р.
Таблица распределения τимеет вид
| τ | 1 | 2 | … | k | … |
| Р | p | Р (1 – р) | … | p (1-p)k-1 | … |
Распределение Пуассона.
Говорят, что случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ, где λ > 0, и ξÎПλ, если ξпринимает значения 0, 1, 2 … с вероятностями
Таблица распределения ξ имеет вид
| ξ | 1 | 2 | … | k | … |
| Р | е- λ | λ е- λ | … | (λk /k!)е- λ | … |
Гипергеометрическое распределение.
Говорят, что случайная величина ξимеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, N и K, K£N, n£N если ξ принимает целые значения от max (0, N - K – n ) до min (K ,n ) с вероятностями
. Случайная величина ξ с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди n шаров выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей К белых шаров и N-K не белых.
Заметьте, что со всеми этими распределениями мы уже хорошо знакомы.
Но распределения случайных величин далеко не исчерпываются дискретными распределениями. Так, например, если точка бросается наудачу на отрезок [0,1], то можно задать случайную величину, равную координате этой точки. Но число значений этой случайной величины несчетно, так что ее распределение дискретным не является. Да и вероятность этой случайной величине принять каждое из своих возможных значений (попасть в точку) равна нулю. Так что не только таблица распределения не существует, но и соответствие «значение величины « вероятность его принять» ничего не говорит о распределении случайной величины.
Какими же характеристиками еще можно описать распределение?
Раздел 7. Функция распределения
Заметим, что на том же отрезке [0, 1] вероятности попадания в множества положительной меры совсем не нулевые. И термин «наудачу» мы когда-то описывали как раз в терминах вероятностей попадания в множество. Может быть, разумно описать распределение случайной величины, задав для любого множества, вероятность принять значения из этого множества? Это действительно полное описание распределения, но уж очень трудно с ней работать — слишком много множеств на прямой.
Нельзя ли обойтись заданием вероятностей попадания в какой-нибудь меньший набор множеств на прямой? Оказывается, что можно ограничиться только вероятностями попадания в интервалы (-¥, х) для всех хÎR, с помощью которых можно будет определить и вероятность попасть в любое другое множество.
Замечание 11. Можно с таким же успехом ограничиться набором вероятностей попадания в интервалы (-¥, х], или в (х ,¥), или в [х ,¥), или в (х1 ,x2). Впрочем, последних уже слишком много.
Определение 27.Функцией распределения случайной величины ξназывается функция Fξ(x) : R® [0, 1], при каждом xÎR равная Fξ(x) = P(ξ < x) = P{ω: ξ(ω) < x}
Пример 22. Случайная величина ξ имеет вырожденное распределение Ic. Тогда
Пример 23. Случайная величина ξ имеет распределение Бернулли Вр. Тогда
Пример 24. Будем говорить, что случайная величина ξимеет равномерное распределение на отрезке [a, b] и писать ξÎUa,b(“ uniform”), если ξ— координата точки, брошенной наудачу на отрезок [a, b] числовой прямой. Это распределение можно задать и с помощью функции распределения:
7.1 Свойства функции распределения
Теорема 19.
Функция распределения Fξ(x) обладает следующими свойствами:
F1) Функция распределения Fξ(x) не убывает: если х1 < x2 тоFξ(x1)< Fξ(x2);
F2) Существуют пределы
и 
F3) Функция распределения Fξ(x) непрерывна слева:
Теорема 20. Если функция F: R® [0, 1] удовлетворяет свойствам (F1)–(F3), то F есть функция распределения некоторой случайной величины ξ, то есть найдется вероятностное пространство (Ω, Ψ, Р) и случайная величина ξ на этом пространстве, что F(х) = Fξ(x).
Прочие полезные свойства функций распределения
F4) В любой точке х0разница Fξ(х0+0) - Fξ(х0)равна P(ξ = х0):
Следствие 3. Если функция распределения Fξ(x) непрерывна в точке х0, то
P(ξ = х0)= 0
F5) Для любой случайной величины ξ имеет место равенство P(а £ξ < b) = Fξ(a) - Fξ(b).
Если же функция распределения Fξ(x) непрерывна (для любого x, или только в точках a и b), то
P(а £ξ < b) = P(а < ξ < b) = P(а £ξ£b) = P(а < ξ£b) = Fξ(a) - Fξ(b)
Функция распределения дискретного распределения
Мы уже видели, как выглядят функции распределения некоторых дискретных распределений. Из свойств (F4), (F5) следует
Свойство 4. Случайная величина ξимеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения Fξ— ступенчатая функция. При этом возможные значения ξ— точки ai скачков Fξ, и
pi = P(ξ = ai ) = Fξ (ai + 0) - Fξ (ai )— величины скачков.
В следующей главе мы рассмотрим случайные величины, функции распределения которых не удовлетворяют свойству 4 хотя бы потому, что они вовсе не имеют разрывов. Более того, мы выделим класс функций распределения, которые «восстанавливаются по своей производной» с помощью интегрирования (так называемые абсолютно непрерывные функции).
Раздел 8. Абсолютно непрерывные распределения
Определение 28.Случайная величина ξ имеет называемые абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция fξ(x) такая, что для любого хÎRфункция распределения Fξ(x) представима в виде
При этом функция fξ(x) называется плотностью распределения случайной величины ξ.
Теорема 21.Плотность распределения обладает свойствами:
(f1) fξ(x)³ 0 для любого x;
(f2)
Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:
Лемма 2. Если функция fобладает свойствами (f1) и (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина ξ на нем, для которой fявляется плотностью распределения.
Доказательство. Пусть Ω есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции f (« подграфик» функции f). Площадь области Ω равна 1 по свойству (f2). И пусть случайная величина ξ есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область.
Тогда (вспомнить геометрическую вероятность) для любого хÎR
 |
то есть f является плотностью распределения случайной величины ξ
Свойства плотностей