Курс лекций по теории вероятностей (стр. 6 из 20)

Определение 18. Набор попарно несовместных событий Н₁, Н₂… таких, что P(А_i) > 0 для всех i и

называется полной группой событий или разбиение пространства Ω

События Н₁, Н₂ …, образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для произвольного события А могут быть сравнительно просто вычислены P(А/ Н_i) (вероятность событию А произойти при выполнении «гипотезы» Н_i) и собственно P(Н_i)(вероятность выполнения «гипотезы» Н_i).

Теорема 8 (Формула полной вероятности).

Пусть Н₁, Н₂— полная группа событий. Тогда вероятность любого события A может быть вычислена по формуле:

4.4 Формула Байеса

Теорема 9 (Формула Байеса).

Пусть Н₁, Н₂…— полная группа событий и A — некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Н_k, если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:

Пример 17. Вернемся к примеру 15. Изделие выбирается наудачу из всей произведенной продукции. Рассмотрим три гипотезы: Н_i = {изделие изготовлено i-м заводом }, i = 1, 2, 3. Вероятности этих событий даны: P(Н₁) = 0,25, P(Н₂) = 0,35, P(Н₃) = 0,4 . Пусть A = {изделие оказалось бракованным }. Даны также условные вероятности P(A\Н₁) = 0,05, P(A\Н₂) = 0,03, P(A\Н₃) = 0,04

Пример 18. Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0,00001. Можно сделать два предположения об эксперименте:

Н₁ = {стреляет 1-й стрелок}

Н₂ = { стреляет 2-й стрелок } .

Априорные (a’priori —«до опыта») вероятности этих гипотез одинаковы: P(Н₁) = P(Н₁) = 1/2.

Рассмотрим событие A = {пуля попала в мишень}. Известно, что

P(A\Н₁) = 1, P(A\Н₂) = 0,00001

Поэтому вероятность пуле попасть в мишень P(A) = 1/2*1 + 1/2*0,00001. . Предположим, что событие A произошло. Какова теперь апостериорная (a’posteriori — «после опыта») вероятность каждой из гипотез Н_i? Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в 100000 раз). Действительно,

Раздел 5. Схема Бернулли

5.1 Распределение числа успехов в n испытаниях

Определение 19. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятность р Î[0,1], «неудача» — с вероятностью q = 1 - p.

Теорема 10 (Формула Бернулли).

Обозначим через v_n число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого k = 0, 1, …n

Доказательство. Событие A ={v_n= k} означает, что в n испытаниях схемы Бернулли произошло ровноkуспехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию A элементарных исходов:

Здесь буквами «у» и «н» обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна p^k(1 - p)^n-k.

Другие благоприятствующие событию A элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением k успехов на n местах. Есть ровно

способов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие A состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна p^k(1 - p)^n-k.

Определение 20. Набор чисел

называется биноминальным распределением вероятностей и обозначается В_np или B(n,p).

Теорема 11 Пусть m₁, m₂целые числа,0 £m₁£m£m₂£nОбозначим через Р_n(m₁,m₂) вероятность того, что событие А наступило не менее m₁и не более m₂ раз в n испытаниях. Тогда

5.2 Наиболее вероятное число успехов

По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в n испытаниях» имеет вероятность qⁿ , 1 успех — вероятность npqⁿ и т.д. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком k достигается максимум P(v_n=k)?

Чтобы выяснить это, сравним отношение P(v_n=k)и P(v_n=k-1)с единицей.

Видим, что

(a) Р(v_n = k) > Р(v_n = k-1) при np + p – k > 0, то есть при k < np + p;

(b) Р(v_n = k) < Р(v_n = k-1 )при np + p – k < 0, то есть при k > np + p;

(c) Р(v_n = k) = Р(v_n = k-1 при np + p – k = 0, что возможно лишь если np + p — целое число.

Рассмотрим два случая: np + p –целое число и np + p – дробное число. В первом случае пусть k₀ =np + p. Из полученных выше неравенств, сразу следует, что

Во втором случае пусть k₀ = [np + p] (целая часть числа np + p, то есть наибольшее целое число, не превосходящее np + p). Из неравенств (a), (b) следует, что

Действительно, неравенство Р(v_n = k₀) > Р(v_n = k₀+1), например, следует из (b), примененного для

k = k₀+1 > np + p.

Видим, что в зависимости от того, является число 1 > np + p целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов k₀ = np + p и k₀ –1 > np + p - 1,либо одно «наиболее вероятное» число успехов k₀ = [np + p].

Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.

Теорема 12. В n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является

a) единственное число k₀ = [np + p], если число np + pне целое;

б) два числа k₀ =np + p и k₀ -1= np + p -1, если число np + p целое.

Пример 19. Если p = q = 1/2, то при четном числе испытаний n число np + p = n/2 + 1 /2— не целое, так что наиболее вероятным является единственное число успехов [n/2 + 1 /2] = n/2. Что совершенно понятно, так как есть нечетное число возможностей — получить 0, 1, …n успехов, причем вероятности получить kи n-k успехов одинаковы.

При нечетном же числе испытаний n число np + p = n/2 + 1 /2 — целое, так что наиболее вероятными (и одинаково вероятными) являются два числа успехов n/2 + 1 /2и n/2 - 1 /2.

5.3 Номер первого успешного испытания

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха p в одном испытании. Испытания проводятся до появления первого успеха. Введем величину τ, равную номеру первого успешного испытания.

Теорема 13. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером k, равна

P(τ = k) = p q^k-1.

Доказательство. Действительно,

Определение 21. Набор чисел {pq^k-1}называется геометрическим распределением вероятностей и обозначается G_pили G(p).

Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством «нестарения». Пусть величина τ обозначает, скажем, время безотказной работы (измеряемое целым числом часов) некоторого устройства. Предположим, что для величины τ вероятность принять любое свое значение k в точности равна pq^k-1. Справедливо следующее утверждение.