О неопределенных бинарных квадратичных формах (стр. 6 из 8)
.Рассмотрим отношение
, в случаях 
и 
.Если
, то 
, так как 
.Если
, то считая 
, получим 
.Поэтому
.Следовательно, полагая
, получим неравенство 
.Предложение 4 доказано.
Следующее предложение характеризует среднее значение
в нужной для нас форме.Предложение 5. Для
имеет место следующая оценка сверху 
,где
- постоянная 
.Доказательство. Имеем
.Последняя сумма геометрически представляет собой число целых точек в первой четверти, лежащих на или под гиперболой
, при этом целые точки, лежащие на осях координат исключаются, так как для них 
. Поэтому исследуемую сумму можно записать в виде 
, где 
- целая часть числа 
.Оцениваем теперь сумму
,где
.Здесь мы воспользовались следующим соотношением из математического анализа
,где
есть так называемая постоянная Эйлера.
Предложение 5 доказано.
Перейдем теперь к элементарному доказательству следующего результата.
Теорема (Зигель). Для числа
всех приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта 
справедливо неравенство 
,где
- произвольное положительное число, 
- постоянная, зависящая только от .Доказательство. Пусть
- неопределенная приведенная форма дискриминанта 
. Тогда 
, 
, 
.Оценим сверху число приведенных форм с
и 
. Тогда 
.Применяя к последней сумме предложения 3,4,5, получим
, где 
.Теорема доказана.
§4. О диагональных формах и оценка снизу числа классов в роде.
В этом параграфе мы получим одну оценку снизу для числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм. Сначала введем соответствующие понятия.
Определение 1. Целое число
, не делящееся на простое число 
называется квадратичным вычетом по модулю простого числа, если число сравнимо с квадратом некоторого целого числа по модулю , т.е. - квадратичный вычет по модулю , если сравнение 
имеет решение; в противном случае число называется квадратичным невычетом по модулю . В теории квадратичных вычетов очень полезно использование так называемого символа Лежандра.Определение 2. Символом Лежандра
числа по простому модулю , которое определяется следующим соотношением 
Приведем некоторые основные свойства символа Лежандра, которые нам понадобятся.
Свойство 1.
, если 
.Свойство 2. Если
, то 
(свойство периодичности).Свойство 3.
(свойство мультипликативности)Свойство 4.
, если .Определим теперь понятие рода квадратичных форм, впервые введенное Гауссом. Совокупность классов собственно примитивного порядка данного дискриминанта
Гаусс в своей арифметической теории квадратичных форм разделяет на ряды, относя в один и тот же род все те классы, формы которых имеют и тот же «характер». Под характером примитивной формы или примитивного класса форм Гаусс понимает следующее.Пусть
- простой делитель дискриминанта , и пусть число всех этих различных модулей равно 
. Можно показать, что если 
- один из этих модулей, то для всех чисел 
, представимых данной собственно примитивной формой дискриминанта и взаимно простых с 
, символы Лежандра 
имеют одно и то же значение. В самом деле, пусть 
- собственно примитивная форма дискриминанта и - любой нечетный простой делитель числа и 
, 
- два числа, представляемых формой 
и не делящихся на . Подстановка 
определителя 
переводит в форму 
(см. соотношения (3) §1), причем 
, откуда 
, т.е. в силу определения символа Лежандра имеем 
. Из этого равенства в очередь на основании свойств 3 и 4следует, что 
. Итак, символ Лежандра 
имеет одно и то же значение для всех чисел 
, представляемых формой . Выпишем эти символы Лежандра, которые все равны 
или 
для всех указанных модулей 
, взятых в определенном выбранном порядке. Тогда для данной квадратичной формы получается некоторая определенная последовательность чисел, равных 
. Эта последовательность чисел, равных и называется характером рассматриваемой собственно примитивной бинарной квадратичной формы дискриминанта или характером класса этой формы.