О неопределенных бинарных квадратичных формах (стр. 7 из 8)

Так как число всех различных последовательностей, составленных из

членов, равных или равно , то число различных характеров форм данного дискриминанта, а следовательно и число родов не больше, чем . Чтобы решить вопрос о точном числе родов Гаусс вводит в рассмотрение операции композиции классов и композиции родов квадратичных форм. Не вдаваясь в эту сложную теорию Гаусса, мы приведем его результаты о числе родов и о числе классов в каждом роде.

Теорема 1 (Гаусс). Число родов бинарных квадратичных форм в данном собственно примитивном порядке дискриминанта

равно , где определяется следующими условиями:

при ,

при ,

при ,

при этом

- число различных простых делителей числа .

Теорема 2 (Гаусс). Каждый род собственно примитивного порядка содержит одно и то же число классов, т.е.

,

где

- число всех классов, - число классов в каждом роде и -число родов.

Перейдем теперь после такого предварительного обсуждения к изложению результатов данного параграфа. Следующая теорема устанавливает существование неэквивалентных диагональных квадратичных форм данного дискриминанта.

Теорема 3. Диагональная форма

дискриминанта не эквивалентна никакой другой диагональной форме того же дискриминанта.

Доказательство. Допустим, что диагональная форма

(1)

дискриминанта

собственно эквивалентна другой диагональной форме

(2)

того же дискриминанта

. Тогда найдется целочисленная унимодулярная подстановка , которая переводит форму в форму .

Имеем

(3)

где

(4)

Подставляя (3) в (1), получим

.

Но так как, мы требуем, чтобы форма

была тоже диагональной, то

. (5)

Тогда форма

перепишется в следующем виде

. (6)

Далее, так как

имеет тот же дискриминант, что и форма , то

, (7)

или что то же самое

;

;

(8)

откуда с учетом (5), полученное соотношение (8) перепишется в виде

,

что противоречит условию (4).

Значит наше допущение о том, что диагональная форма эквивалентна другой диагональной форме того же дискриминанта неверно.

Теорема 3 доказана.

Полученную теорему 3 можно применить к оценке снизу числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм собственно примитивного порядка.

Теорема 4. Если для каждого квадратного делителя

дискриминанта выполнены условия:

НОД

, простого ,

то для числа

классов неопределенных квадратичных форм дискриминанта в каждом роде собственно примитивного порядка выполняется неравенство

.