Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства (стр. 13 из 20)
Решение. Положив
, находим что х2 + 5х + 4 = у2 – 24, тогда неравенство (1) преобразуется к виду:у2 – 5y – 24 < 0
и далее решим уравнение:
у2 – 5y – 24 = 0
D = 25 + 96 = 121
y1 = -3, y2 = 8
получаем (у – 8)(у + 3) < 0.
Решением этого неравенства является промежуток -3 < y < 8.
Мы пришли к следующей системе неравенств:
Так как
при всех допустимых значениях х, то тем более 
при всех х их ОДЗ неравенства (1), а поэтому достаточно решить неравенство:
Это неравенство равносильно системе
Так как неравенство х2 + 5х + 38 ³ 0 выполняется при любых значениях х (D = 25 – 4 × 28 < 0 и а = 1 > 0), то последняя система равносильна неравенству:
х2 + 5х + 38 < 0
или
(х + 9)(х – 4) < 0
откуда методом интервалов находим решение неравенства (1)
Ответ: х Î ]-9; 4[
Неравенство (1) – неравенство вида
.Здесь применима подстановка
и неравенство заменяется равносильным ему неравенством:у2 – ky + d – c < 0, которое легко разрешимо.
Рассмотрим неравенство вида:
, где можно применить подстановку 
.Пример 2. Решить неравенство:
Решение. Найдем ОДЗ неравенства: х £ 5. Положим
, тогда у > x – 3, y ³ 0. Выразим х через у: у2 = 5 – х Þ х = 5 – у2.Получаем систему:
Откуда:
Значения x < 4 принадлежат ОДЗ.
Ответ: x < 4.
Пример 3. Решить неравенство
Решение. Найдем ОДЗ неравенства
при х ³ 2 второе и третье неравенства системы истинны. ОДЗ х ³ 2.
Пусть
, тогда исходное неравенство примет вид:
(1)Так как под радикалами в левой части неравенства (1) стоят полные квадраты, то оно может быть представлено в следующем эквивалентном виде:
|t + 1| - |t – 1| > 1
Разобьем решение на три промежутка:
1) t £ -1
-t – 1 + t – 1 > 1 Æ
2) –1 < t £ 1
t + 1 + t – 1 > 1
2t > 1
t > ½
3) t > 1
t + 1 – t + 1 > 1 2 > 1 – истинно
Решением неравенства на всех трех промежутках будет t > ½
Подставляем
Эти значения принадлежат ОДЗ.
Ответ: x > 2,25.
Пример 4. Решить неравенство:
Решение. Положим
, тогда 
и мы получаем неравенство:у2 – у – 2 >0,
откуда находим y < -1, y>2.
Теперь задача свелась к решению двух неравенств:
Первое неравенство не имеет корней во множестве действительных чисел, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.
(1)Пусть a < 0. В школьном курсе рациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Пусть (1) верно, тогда:
Противоречие.
Итак, получаем: левая положительная часть меньше отрицательной правой, что не имеет смысла.
Решим неравенство
Возведем обе части неравенства в пятую степень, получим x – 2 > 32, откуда x > 34.
Ответ: x > 34.
9. Способ домножения обеих частей иррационального неравенства на некоторое число, либо выражение.
Этот способ мы можем использовать, основываясь на теоремах 19 и 20 из параграфа «Неравенства и их основные свойства».
Пример 1. Решить неравенство:
(1)Решение. Уединение радикала и возведение обеих частей полученного неравенства в квадрат привело бы к громоздкому неравенству. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, то можно заметить, что заданное неравенство легко сводится к квадратному. Предварительно найдем ОДЗ неравенства:
2х2 – 3х + 2 ³ 0
откуда получаем х – любое действительное число. Домножим обе части неравенства (1) на 2 получим
и далее
Полагая
, получим у2 – 2у - 8 ³ 0, откуда у £ -2, у ³ 4.Значит, неравенство (1) равносильно следующей совокупности неравенств:
Второе неравенство системы имеет решения х £ -2, х ³ 3,5, а первое – не имеет решений, так левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, это противоречит смыслу неравенства.
Все решения второго неравенства принадлежат ОДЗ неравенства (1) и получены при переходах к равносильным неравенствам.
Ответ: х £ -2, х ³ 3,5.
Пример 2. Решить неравенство
(1)Решение. ОДЗ неравенства:
Домножим обе части неравенства на выражение
, имеющее ту же ОДЗ , что и неравенство (1).Получим:
или:
Последнее неравенство всегда истинно на ОДЗ, т. к. –3 всегда будет меньше положительной правой части неравенства.
Ответ: х ³ 1.
Пример 3. Решить неравенство
Решение. Найдем ОДЗ неравенства
Домножим обе части неравенства на
:
Последнее неравенство равносильно совокупности:
Из первой системы получаем x < -2, а решением второй системы является промежуток
Объединяя их получаем:
Ответ:
10. Метод выделения полного квадрата в подкоренных выражениях при решении иррациональных неравенств, либо разложения подкоренного выражения на множители.
Пример 1. Решить неравенство
Попробуем отметить какие – либо особенности заданного неравенства, которые могли бы указать путь к решению. Такие особенности есть, а именно:
Решение. Найдем ОДЗ исходного неравенства
На промежутке [-1;4] третье и четвертое неравенства системы истинны.
Значит, ОДЗ х Î [-1;4].
Перепишем заданное неравенство так:
откуда
Но
и 
, поэтому получаем: