Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства (стр. 7 из 20)

Частным решением неравенства

называется всякое удовлетворяющее ему значение переменной . Решением неравенства называется множество всех его частных решений.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их решения совпадают (в частности, если оба неравенства не имеют решений). Если каждое частное решение неравенства

является в то же время частным решением неравенства , полученного после преобразований неравенства , то неравенство называется следствием неравенства . В следующих теоремах речь идет о преобразованиях, приводящих к равносильным неравенствам.

Теорема 18. Если к обеим частям неравенства прибавить одну и туже функцию

, которая определена при всех значениях из области определения исходного неравенства, и при этом оставить без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким образом, неравенства

(1)

и

(2)

равносильны.

Доказательство: Пусть

= - произвольное решение неравенства . Тогда - истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим его частям число (по условию это число существует, ибо неравенства (1) и (2) имеют одну и ту же область определения. На основании свойства 6 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство - истинное. Следовательно, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2).

Обратно, пусть

- произвольное решение неравенства (2), значит - истинное числовое неравенство. После вычитания из обеих частей этого неравенства числа по свойству 6 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство . Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.

Следствие. Неравенства

и

равносильны.

Теорема 19. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию

, которая при всех значениях из области определения исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом оставить без изменения знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.

Таким образом, если

, то неравенства

(1)

и

(2)

(или

) равносильны.

Доказательство: пусть

произвольное решение неравенства (1). Тогда - истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число (по условию это число существует, ибо функция имеет смысл при всех из области определения неравенства (1), причем

). Н основании свойства 3 числовых неравенств заключаем. что числовое неравенство (2) тоже истинное при .

Обратно, пусть

- произвольное решение неравенства (2), значит - истинное числовое неравенство. После деления обеих частей неравенства на число (по условию) по свойству 12 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство .

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 20. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию

, которая при всех значениях из области определения исходного неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом изменить на противоположный знак неравенства, то получится неравенство. равносильное исходному.

Таким образом, если

, то неравенства

(1)

и

(2)

(или

) равносильны.

Доказательство: Пусть

произвольное решение неравенства (1). Тогда - истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число

(по условию это число существует, ибо функция имеет решение при всех из области определения неравенства (1)). На основании свойства 4 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство тоже истинное.

Обратно, пусть

- произвольное решение неравенства (2), значит -истинное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на число по свойству 4 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство .

Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и тоже отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 21. Пусть дано неравенство

, причем и при всех из области определения неравенства. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же натуральную степень и при этом знак неравенства оставить без изменения, то получится неравенство