Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства (стр. 8 из 20)

,

равносильное данному.

Доказательство: пусть

- произвольное решение неравенства . Причем и (по условию). Тогда - истинное числовое неравенство. Но по свойству 17 числовых неравенств получаем, что числовое неравенство тоже истинно. Что и требовалось доказать.

Замечание. При выполнении тождественных преобразований возможно изменение области определения выражения. Например, при приведении подобных членов, при сокращении дроби может произойти расширение области определения. При решении неравенства в результате тождественных преобразований может получиться неравносильное неравенство. Поэтому после выполнения тождественных преобразований, которые привели к расширению области определения неравенства, из найденных решений нужно отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства.

3. Корень

- й степени. Иррациональные неравенства.

Определение. Корнем

- й степени из действительного числа называется действительное число такое, что .

В частности, если

, , то из получаем, что или . Если , , то из получаем, что . Заметим, что если - четное, а , то по свойствам действительных чисел не существует действительных таких, что . Если - четное, а , то существует ровно два действительных различных корня - й степени из . Положительный корень обозначается через - арифметический корень - й степени из , отрицательный . Если , то при любом существует единственный корень - й степени из - число .

Если,

- нечетное, то для любого действительного числа существует единственный корень - й степени из . Этот корень называется арифметическим корнем - й степени из числа и обозначается .

Итак:

1.

- четное, , - арифметический корень - й степени из неотрицательного числа .

2.

- нечетное, - любое действительное число, - арифметический корень - й степени из действительного числа .

Значит, если показатель корня - число нечетное, то действия с такими корнями не вызывают затруднений (

имеет тот же знак, что и ), Основной случай для исследования - когда - четное.

Пусть функция

- иррациональная, т.е. задается с помощью иррационального алгебраического выражения и не может быть задана с помощью рационального алгебраического выражения. Иррациональным неравенством называется неравенство вида . Для того, чтобы найти множество решений иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. Несмотря на внешнюю схожесть процедуры решения иррационального уравнения и иррационального неравенства, между ними существует большое отличие. При решении иррациональных уравнений можно не заботиться о том, чтобы после возведения в степень получилось уравнение, эквивалентное исходному: алгебраическое уравнение имеет конечное число корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решения исходного иррационального уравнения.

Множество решений неравенства представляет собой, как правило, бесконечное множество чисел, и поэтому непосредственная проверка решений путем подстановки этих чисел в исходное неравенство становится принципиально невозможной. Единственный способ, гарантирующий правильность ответа, заключается в том, что мы должны следить за тем, чтобы при каждом преобразовании неравенства у нас получалось неравенство, эквивалентное исходному.

Решая иррациональные неравенства следует помнить, что при возведении обеих его частей в нечетную степень всегда получается неравенство, эквивалентное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в четную степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исходному и имеющее тот же знак, лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

4. Решение простейших иррациональных неравенств

Если иррациональное неравенство содержит один радикал, то всегда можно привести его к равносильному неравенству, в котором радикал будет находиться в одной части неравенства, а все другие члены неравенства - в другой его части, то есть неравенству вида

или , где и - рациональные алгебраические выражения относительно переменной . Привидение иррационального неравенства, содержащего один радикал к виду