Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства (стр. 6 из 20)

Действительно,

Теорема 6. Если

и - произвольное число, то , т.е. к обеим частям неравенства можно прибавить произвольное число.

Действительно,

, где . Следовательно, , а так как , имеем: .

Теорема 7. Если

, и , то . Предварительно напомним, что есть обратное число, т.е. такое, что . Имеем . Но, с другой стороны,

Следовательно, и

, так как, если произведение и один из множителей положительны, то и другой множитель положителен. Значит .

Теорема 8. Если

, то , т.е. квадрат любого отличного от нуля числа положителен. Это следует из определения умножения положительных и отрицательных чисел.

Теорема 9. Если

и , то , т.е. два неравенства одинакового смысла можно сложить.

Имеем

, ,где и . Следовательно,

или

где

, что и требовалось доказать.

Теорема 10. Если

и , то . Как легко показать, разность положительна.

Теорема 11. (о перемножении неравенств)

Если

, и и положительны, то , т.е. обе части неравенства с положительными членами можно умножить на неравенство того же смысла, больший член которого положителен.

Имеем последовательно:

Здесь каждое произведение, а следовательно, и сумма положительны, что и требовалось доказать.

Теорема 12. (о делении неравенств)

Если

, , , , - положительны, то .

Действительно, здесь

, и, на основании теоремы о перемножении неравенств, имеем , что и требовалось доказать.

Теорема 13. Если

- четное число, , а , то , т.е. четная степень любого числа, отличного от нуля, положительна.

Теорема вытекает из положений, что

и .

Теорема 14. Если

- нечетное число, и , то , т.е. отрицательное число в нечетной степени отрицательно.

Теорема вытекает из следующих соотношений:

и .

Теорема 15. Если

- нечетное число, и - положительно, а - отрицательно, то . Из предыдущего видно, что , а , откуда .

Теорема 16. Если числа

и положительны и , то , где - целое положительное число.

Действительно, если предположить, что

, то возведя обе части неравенства в степень . получим , т.е. придем к противоречию.

Теорема 17. Если

, то , где - произвольное положительное рациональное число.

В самом деле, из

имеем и дальше .

Мы рассмотрели числовые неравенства. Пусть теперь нам даны две функции

и . Если поставить между ними один из знаков неравенства (>,<, , ), получим условное неравенство. В дальнейшем такие условные неравенства мы будем называть просто неравенства.

Областью определения или областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства

называется множество таких значений , при которых и функция , и функция определены. Иными словами, ОДЗ неравенства - это пересечение ОДЗ функции и ОДЗ функции .