Шпаргалка по Высшей математике 3 (стр. 15 из 21)
Тогда
Замечание: Интеграл типа
целессooбразно находить с помощью подстановки х=1/t.Интегрирование дифференциального бинома
Интегралы типа(называемые интегралами от дифференциального бинома),
где а, b - действительные числа; m, n, р - рациональные числа, берутся лишь в случае, когда хотя бы одно из чисел р, (m+1)/n или (m+1)/n+р является целым.Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следующими подстановками:
1) если р - целое число, то подстановка х=tk, где k - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;
2) если (m+1)/n - целое число, то подстановка
где s —знаменатель дроби р;3) если (m+1)/n+р - целое число, то подстановка
где s - знаменатель дpоби р.Во всех остальных случаях интегралы типане выражаются через известные элементарные функции,
т. е. «не берутся».Пример Найти интеграл
Решение: Так как
то
Поэтому делаем подстановку
Таким образом,
36. Определенный интеграл. Формула Ньютона –Лейбница
Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.
1. С помощью точек х0=а, x1, х2, ..., хn = В (х0 <x1 < ...< хn) разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезков [х0;х1], [x1; х2],..., [хn-1,хn] (см. рис. 167).
2. В каждом частичном отрезке [xi-1;xi], i = 1,2,...,n выберем произвольную точку сi є [xi-1; xi] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(сi).
3. Умножим найденное значение функции ƒ (сi) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (сi) • ∆хi.
4. Составим сумму Sn всех таких произведений:
1.Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆xi(i = 1,2,..., n).
5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0.
Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается
Таким образом, 
Числа а и b называются соответственна нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) — подынтегральной функцией, ƒ(х) dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, отрезок [а; b] — областью (отрезком) интегрирования.
Функция у=ƒ(х), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл
называется интегрируемой на этом отрезке.Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла.
Теорема Коши. Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл
Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.
Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (35.2).
1. Определенный интеграл не зависим от обозначения переменной интегрирования:
Это следует из того, что интегральная сумма (35.1), а следовательно, и ее предел (35.2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
3. Для любого действительного числа с.
Пусть функция у = ƒ(х) интегрируема на отрезке [а; b].
Теорема Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b] и F(x) — какая-либо ее первообразная на [а; b] (F'(x) = ƒ(х)), то имеет место формула
Разобьем отрезок [а;b] точками а = x0, x1,..., b = xn (x0 < x1 < ...< хn) на n частичных отрезков [x0;x1], [x1;x2],..., [xn-1;xn], как это показано на рис.
Рассмотрим тождество
Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа
ƒ(b)-ƒ(а) = ƒ'(с)*(b-а).
Получим
т. е.
1.где ci есть некоторая точка интервала (xi-1; xi). Так как функция у = ƒ(х) непрерывна на [а; b], то она интегрируема на [а; b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от ƒ (х) на [а ;b].
Переходя в равенстве (1) к пределу при λ = max ∆xi→0, получаем
т. е.
Равенство 1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Если ввести обозначение F(b)- F(a) = F(x)|ab , то формулу Ньютона-Лейбница (37.1) можно переписать так:
Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции ƒ (х) на отрезке [а; b], надо найти ее первообразную функцию F(x) и взять разность F(b)- F(a) значений этой первообразной на концах отрезка [a;b].
Например,
а
Пример Вычислить интеграл
Решение:
37. Свойства определенного интеграла.
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [a;b]. При выводе свойств будем использовать определение интеграла и формулу Ньютона-Лейбница.
1. Если с — постоянное число и функция ƒ(х) интегрируема на [a;b], то
1.т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.
Составим интегральную сумму для функции с • ƒ(х). Имеем:
Тогда Отсюда вытекает, что функция
с • ƒ(х) интегрируема на [а; b] и справедлива формула (1).2. Если функции ƒ1(х) и ƒ2(х) интегрируемы на [а;b], тогда интегрируема на [а; b] их сумма u
2.т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.
▼
Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.
3.
Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.
4. Если функция ƒ(х) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то
3.т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).
При разбиении отрезка [а;b] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [а; b] на части). Если с = хm, то интегральную сумму можно разбить на две суммы: