Шпаргалка по Высшей математике 3 (стр. 20 из 21)
Иными словами, ряд сходится при 
и расходится при 
. Таким образом, число 
представляет собой радиус сходимости степенного ряда. (Если 
, то 
при всех 
и ряд сходится на всей числовой прямой, что обозначается равенством 
).
Дадим другую формулу для радиуса сходимости. Применим к рассматриваемому ряду 
признак Коши. 
. Пусть существует 
. Тогда, как и выше, при 
ряд сходится, а при 
- расходится. Поэтому 
(при , разумеется, ).
Рассмотрим примеры.
Пример 1. 
. Ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.
Пример 2. 
. В точках 
ряд, очевидно, расходится.
Пример 3. 
. В точке 
сходится по теореме Лейбница. В точке 
гармонический ряд 
расходится.
Пример 4. 
. В точках получается условно сходящийся ряд 
.
Пример 5. 
. 
. В точках имеем ряд 
, который абсолютно сходится.
Теорема. Степенной ряд 
представляет собой функцию, непрерывную на 
, где 
- радиус сходимости ряда.
Доказательство.
Лемма. Пусть 
. Тогда сходится на множестве 
абсолютно и равномерно.
Доказательство. Так как , ряд 
сходится. Так как 
, можно применить теорему Вейерштрасса, из которой и следует утверждение леммы.
Замечание. Лемма отнюдь не утверждает равномерной сходимости степенного ряда на 
. Да это, вообще говоря, и неверно. Например, прогрессия 
сходится на 
неравномерно. Однако этот ряд сходится равномерно на любом 
.
Пусть теперь 
, т.е. 
. Выберем 
так, чтобы 
. Тогда, по доказанной лемме, ряд сходится на 
абсолютно и равномерно. Поскольку все функции 
- непрерывные, сумма ряда есть непрерывная на функция. Значит, эта функция непрерывна и в выбранной, произвольной точке интервала 
.
Следствие. (Единственность степенного ряда). Пусть 
, 
и в некоторой окрестности 
. Тогда 
.
Доказательство. При 
получаем: 
. Поэтому 
. При 
. В правой и левой частях стоят степенные ряды, а они, по-доказанному, есть непрерывные функции, поэтому равенство сохраняется при , откуда 
и т.д. (Отметим, что здесь существенно использована непрерывность ряда в точке ).
Сформулируем без доказательства еще одну важную теорему.
Теорема. (Абель). Если ряд , имеющий сумму 
, сходится (хотя бы неабсолютно) при 
, то 
(т.е. сумма ряда непрерывна слева).
Теорема. Для любого 
.
Доказательство. Пусть удовлетворяет неравенствам . Тогда степенной ряд сходится равномерно на и его можно почленно проинтегрировать. Кроме того, 
. Теорема доказана.
Теорема. Для любого 
.
Доказательство. Выберем 
так, чтобы 
. По определению , ряд 
сходится. Поэтому 
(см. доказательство теоремы 1): 
. Рассмотрим величину 
. По признаку Даламбера, ряд 
сходится, т.к. 
. Значит, мы оценили члены ряда 
при 
членами сходящегося ряда . Применяя теорему Вейерштрасса на 
, получаем, что этот ряд равномерно сходится. Следовательно, почленное дифференцирование обосновано на отрезке , а значит, и в точке . Ввиду произвольности точки , теорема доказана.