Шпаргалка по Высшей математике 3 (стр. 16 из 21)
Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [а; b], [а; с] и [с; b]. Переходя к пределу в последнем равенстве при n → ∞ (λ → 0), получим равенство (3).
Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, b, с (считаем, что функция ƒ (х) интегрируема на большем из получающихся отрезков).
Так, например, если а < b < с, то
Отсюда
(использованы свойства 4 и 3).
5. «Теорема о среднем». Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то существует тонка с є [а; b] такая, что
По формуле Ньютона-Лейбница имеем
где F'(x) = ƒ(х). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим
F(b)-F(a) = F'(c)•(b-а) = ƒ(с)•(b-а).
Число
называется средним значением функции ƒ(х) на отрезке [а; b].
6. Если функция ƒ (х) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а < b, то интеграл
имеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то 
По «теореме о среднем» (свойство 5)
где с є [а; b]. А так как ƒ(х) ≥ 0 для всех х Î [а; b], то и
ƒ(с)≥0, b-а>0.
Поэтому ƒ(с)•(b-а) ≥ 0, т. е.
▲7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а; b], (a<b) можно интегрировать. Так, если ƒ1(x)≤ƒ2(х) при х є [а;b], то
Так как ƒ2(х)-ƒ1(x)≥0, то при а < b, согласно свойству 6, имеем
Или, согласно свойству 2,
Отметим,что дифференцировать неравенства нельзя.
8. Оценка интеграла. Если m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = ƒ (х) на отрезке [а; b], (а < b), то
4.Так как для любого х є [а;b] имеем m≤ƒ(х)≤М, то, согласно свойству 7, имеем
Применяяк крайним интегралам свойство 5, получаем
9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:
▼Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, получаем
Отсюда следует, что
10. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т. е.
По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Следовательно,
Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
38. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Пусть для вычисления интеграла
от непрерывной функциисделана подстановка х = φ(t).
Теорема 39.1. Если:
1) функция х = φ(t) и ее производная х' = φ'(t) непрерывны при t є [а;β];
2) множеством значений функции х = φ(t) при t є [а,β] является отрезок [а; b];
3) φ(а)=а и φ(β)=b.
то
1.Пусть F(x) есть первообразная для ƒ(х) на отрезке [а;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница
Так как (F(φ(t))' = f(φ(t)) - φ'(t), то F(φ(t)) является первообразной для функции f(φ(t)) -φ'(t), t Î [а;β]. Поэтому по формуле Ньютона—Лейбница имеем
▲Формула 1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Отметим, что:
1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки х = φ(t) применяют подстановку t = g(x);
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!
Пример. Вычислить
Решение: Положим х = 2 sin t, тогда dx = 2 cos t dt. Если х=0, то t = 0; если x = 2, то t =
. Поэтому 
Интегрирование по частям
Теорема. Если функции u = u(х) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а; b], то имеет место формула
2.На отрезке [а; b] имеет место равенство (uv)' = u'v+uv'. Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции u'v+uv'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Следовательно,
Формула (.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример. Вычислить
Решение: Положим
Применяя формулу 2), получаем
39. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решения.
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):
; (1)(все три переменные x, y, F - действительны).
Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).
Пример: y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.
Уравнение вида F(x, y, y/) = 0 называется уравнением первого порядка.
В простейших случаях оно может быть разрешено относительно у/ = f(x,y).
Общее решение имеет вид у = j(х,С), где С - константа.
Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых.
Интегральные кривые обладают тем свойством, что все касательные в точке М(х,у) имеют наклон tga = f ’(x,y).
Если задать точку М0(х0,у0), через которую должна проходить интегральная кривая, то это требование называется начальным условием y = у0, х = х0 и тогда
у0 = j(х0,С0).
Определяется С - константа; в результате получаем частное интегральное решение у = j(х,С0).
В этом состоит задача Коши.
Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция
, удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Так, функция y(x) = ex + x обращает уравнение : y(4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y(4)(x) = ex; ex –(ex +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка
имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная. Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение
; (2)что: 1. Любое решение (2)
относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1); 2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn.
Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной: