Шпаргалка по Высшей математике 3 (стр. 18 из 21)
Если С0 = 1 , значит, u = x.
Но тогда
x2×v/ = x2 и v = x + C1.
y = x×( x + C1) = x2 + C1×x - общее решение.
А если у0 = 0 , то получим 1 + С1×(-1) откуда С1 = 1.
у = х2 + х - частное решение.
Пример.
(х + у)×у/ = 1.
, 
.
Пусть
x = u×v, тогда 
и
v×u/ + u×v/ = x + y.
Учитывая, что х = u×v, имеем
v×(u/-v) + u×v/ = y
следовательно, lnu = y, u = ey,
Так как 
, то имеем 
.
Далее
v = -y×e-y - e-y + C.
x = u×v = -y-1 + C×ey - общее решение.
y = -y-1 + C×ey
начальные условия:
у0 = 0, х0 = 2.
2 = -1 + С Þ С = 1
х + у + 1 = еу - частное решение.
43. Ряды. Сходимость рядов. Свойства сходящихся рядов.
Бесконечным числовым рядом называется выражение
u1+u2+...+un+... , (1) содержащее неограниченное число членов, где u1 , u2 , u3 , ... , un , ...
- бесконечная числовая последовательность; un называется общим членом ряда.
Для составления ряда нужно знать закон образования общего члена.
Например, если un = 2*n+1, то ряд имеет вид:
3, 5, 7, 9, ..., 501, 503, ..., n*2+1
Если un = (-1)n, то ряд имеет вид:
-1, +1, -1, +1, ..., -1, +1, ..., (-1)n
Сумма первых n членов ряда обозначается символом Sn и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом,
Sn = u1 + u2 + ... + u n
или, короче,
Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n®¥ стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.
Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут
S = u1 + u2 + ... + u n + ...
Если же при n®¥ сумма Sn не имеет предела или
то ряд (1) называется расходящимся и не имеет суммы.
Типичным примером сходящегося ряда может служить ряд, полученный из бесконечно убывающей геометрической прогрессии
a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 + ..., (2)
где -1 < q < 1
Действительно, для этого ряда
Sn = a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 =
При n®¥ qn®0 (так как | q |<1), поэтому
и ряд (2) будет сходящимся. Таким образом можно написать
= a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 + ... . Если q = 1, то ряд (2) имеет вид
a + a + a + a + ... + a + ... . (3)
Сумма Sn первых его n членов, равная na, по абсолютной величине неограниченно возрастает при неограниченном возрастании числа n. Таким образом, ряд (3) - расходящийся.
Если q = -1, то ряд (2) примет вид
a - a + a - a + a - a +... +(-1)n-1 a + ... . (4)
Ясно, что для этого ряда S2n=0 , S2n-1=a. т.е.сумма четного числа первых 2n членов ряда (4) стремится к нулю, а сумма нечетного числа первых 2n-1 его членов стремится к a.
Отсюда следует, что ряд (4) расходится, так как в сходящемся ряде как S2n так и S2n-1 стремятся к одному и тому же пределу S.
Ясно, что если | q |>1, то ряд (2) является также расходящимся.
44. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
Теорема: Пусть числовой ряд
u1+u2+...+un+... , (1)
сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член un стремится к нулю
Доказательство. Из условия теоремы имеем
Так как
Sn - Sn-1 = un
то
Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство
,а он, однако не является сходящимся.
Так гармонический ряд
,для которого
,расходится.
Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если
,то ряд (1) расходится.
В самом деле, если бы он сходился, то
равнялся бы нулю.
Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы Sn, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд
,расходится, так как
45. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
Признаки сравнения
Если 
, и ряд 
сходится, то сходится и ряд 
.
Если 
, и ряд 
расходится, то расходится и ряд 
.
Признаки сравнения можно сформулировать в такой форме:
Если заданы ряды 
, 
и существует 
, то ряды и сходятся либо расходятся одновременно.
Пример:
1. Исследуем сходимость ряда 
. Очевидно, что 
.
Так как гармонический ряд 
расходится, то и ряд 
также расходящийся, и, согласно признаку сравнения, данный ряд 
расходится.
2. Исследовать сходимость ряда 
. Имеем: 
.
Ряд 
сходится как сумма геометрической прогрессии со знаменателем 
. Следовательно, согласно признаку сравнения ряд 
сходится.
Признак Д’Аламбера
Если существует 
то:
- при 
ряд 
сходится;
- при 
ряд 
расходится.
Радикальный признак Коши
Если существует 
то:
- при ряд 
сходится;
- при ряд расходится.
Интегральный признак Коши
Пусть задан ряд 
, члены которого являются значениями непрерывной, положительной и монотонно убывающей функции 
на промежутке 
. Тогда ряд 
сходится, если сходится несобственный интеграл 
.