Рациональные уравнения и неравенства (стр. 8 из 11)

при а > 0 и D = b² – 4ac ³ 0

xÎ( -¥; )È(

; ¥);

при а > 0 и D < 0 x ¾любое действительное число;

при а < 0 и D ³ 0

xÎ( ; );

при а < 0 и D < 0

x = Æ (т. е. решении нет ).

Решение неравенства ax² + bx + c < 0 сводится к решению рассмотренного неравенства, если обе части неравенства умножить на (-1).

Метод интервалов.

Пусть Р_n(x) ¾многочлен n-й степени с действительными коэффициентами, а c₁, c₂, ¼ , c_i¾все действительные корни многочлена с кратностями k₁, k₂, ¼ , k_iсоответственно, причем с₁ > c₂ > ¼ > c_i. Многочлен P_n(x) можно представить в виде

Р_n(x) = (x - c₁)^k1(x - c₂)^k2¼ (x – c_i)^ki Q_m(x), (3)

где многочлен Q_m(x) действительных корней не имеет и либо положителен, либо отрицателен при всех хÎR. Положим для определенности, что Q_m(x) > 0. Тогда при х > c₁все сомножители в разложении (3) положительны и Р_n(х) > 0. Если с₁¾корень нечетной кратности (k₁¾нечетное), то при хÎ(с₂; с₁) все сомножители в разложении (3), за исключением первого, положительны и Р_n(х)<0. В этом случае говорят, что многочлен Р_n(х) меняет знак при переходе через корень с₁. Если же с₁¾корень четной кратности (k₁¾четное), то все сомножители (в том числе и первый) при хÎ(с₂; с₁) положительны и, следовательно, Р_n(х) > 0 при хÎ(c₂; с₁). В этом случае говорят, что многочлен Р_n(х) не меняет знак при переходе через корень с₁.

Аналогичным способом, используя разложение (3), нетрудно убедится, что при переходе через корень с₂ многочлен Р_n(х) меняет знак, если k₂¾ нечетное, и не меняет знака, если k₂¾четное. Рассмотренное свойство многочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для того чтобы найти все решения

Р_n(х) > 0, (4)

достаточно знать все действительные корни многочлена Р_n(х) их кратности и знак многочлена Р_n(х) в произвольно выбранной точке, не совпадающей с корнем многочлена.

Пример: Решить неравенство

х⁴ + 3х³ – 4х > 0. (*)

Решение. Разложим на множители многочлен Р₄(х), стоящий в левой части неравенства (*). Вынося множитель х за скобку, получаем

Р₄(х) = х(х³ + 3х² – 4).

Второй сомножитель, представляющий собой кубический многочлен, имеет корень х = 1. Следовательно, он может быть представлен в виде

х³ + 3х² – 4 = (х-1)(х² + 4х + 4) = (х-1)(х + 2)².

Таким образом, Р₄(х) = х(х - 1)(х + 2)² и неравенство (*) может быть записано в виде

х(х –1)(х + 2)²> 0. (**)

Решим неравенство (**) методом интервалов. При х > 1 все сомножители, стоящие в левой части неравенства, положительны.

Будем двигаться по оси О_х справа налево. При переходе через точку х = 1 многочлен Р₄(х) меняет знак и принимает отрицательные значения, так как х = 1 ¾ простой корень (корень кратности 1); при переходе через точку х = 0 многочлен также меняет знак и принимает положительные значения, так как х = 0 ¾ также простой корень; при переходе через точку х = -2 многочлен знака не меняет, так как х = -2 ¾ корень кратности 2. Промежутки знакопостоянства многочлена Р₄(х) схематически представлены на рис 1. Используя этот рисунок, легко выписать множество решений исходного неравенства.

Ответ. х Î (-¥; -2) È (-2; 0) È (1; ¥).

Пример: Решить неравенство

(х² – 3х – 2)(х² – 3х + 1) < 10.

Решение: Пусть х² – 3х – 2 = y. Тогда неравенствоприметвид y(y +3) < 10, или y² + 3y – 10 < 0, откуда (y + 5)(y – 2) < 0. Решением этого неравенства служит интервал –5<y<2. Таким образом, получаем систему неравенств

x² – 3x – 2 < 2, x² – 3x – 4 < 0,

или

x² – 3x –2 > -5, x² – 3x + 3 > 0,

откуда

(x – 4)(x + 1) < 0,

(x + )² + > 0.

Поскольку второе неравенство выполняется при всех х, решение этой системы есть интервал (-1; 4).

Ответ: (-1; 4).

Пример: Решить неравенство

х⁴ – 34х² + 225 < 0.

Решение. Сначала решим биквадратное уравнение х⁴ – 34х² + 225 < 0. Полагая х² = z, получаем квадратное уравнение z² – 34z + 225 = 0, из которого находим: z₁ = 9 и z₂ = 25. Решая уравнения х² = 9 и х² = 25, получаем 4 корня биквадратного уравнения: -3, 3, -5, 5. Значит,х⁴ – 34х² + 225 = (х + 5)(х + 3)(х – 3)(х – 5), и поэтому заданное неравенство иммет вид:

(х + 5)(х + 3)(х – 3)(х – 5) < 0.

Изображаем на координатной прямой точки –5, -3, 3, 5 и проводим кривую знаков. Решение неравенства является объединение интервалов (-5; -3) и (3; 5).

Ответ: (-5; -3)È(3; 5).

Пример: Решить неравенство

х⁴ – 3 < 2х(2х² – х – 2).

Решение. Дано целое рациональное неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем многочлен к стандартному виду. Получим равносильное неравенство

х⁴ – 4х³ + 2х² + 4х – 3 < 0.

Решая уравнение х⁴ – 4х³ + 2х² + 4х – 3 = 0, находим корни х₁ = -1, х_2,3 = 1, х₄ = 3. Тогда неравенство можно переписать в виде

(х – 1) ²(х + 1)(х – 3) < 0.

Найденные корни разбивают числовую ось на четыре промежутка, на каждом из которых левая часть неравенства, а значит, и исходного неравенства сохраняет знак. Выбирая пробные точки в каждом из промежутков (достаточно значения х подставлять только в последний два сомножителя), получаем знаки, указанные на рисунке. Видим, что неравенство выполняется на промежутках (-1; 1) и (1; 3).

Так как неравенство строгое, то числа –1, 1, 3 не входят в решение неравенства.

Ответ: (-1; 1)È(1; 3).

Дробно-рациональные неравенства.

Решение рационального неравенства

> 0 (5)

где Р_n(х) и Q_m(х) ¾ многочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Q_m(x)]², который положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т.е. при тех х, при которых Q_m(x) ¹ 0), получим неравенство

Р_n(х) ×Q_m(x) > 0,

эквивалентное неравенству (5).

Дробно-линейным называется неравенство вида