Оценка снизу для
вытекает из (58).Теорема 7 доказана.
Глава II. Атомические разложения функции
в пространстве , пространство ВМО.
§II.1.Пространство , критерий принадлежности функции из
пространству .
Рассмотрим
( ) - пространство функций , являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства : для п.в. , . (65)Ранее мы доказали, что
, , (66)и что
- банахово пространство с нормой ; (67)при этом, если в (65)
, то ( ) . (68)В замечании 3 уже говорилось о том, что при
пространство совпадает с пространством и из утверждения 2 следует, что ( ).Последнее соотношение теряет силу при
- нетрудно проверить, что при ,где
и, следовательно, существует функция
, для которой . Таким образом, - собственное подпространство в . Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству .ОпределениеII. 8.
Множество
мы будем называть обобщенным интервалом, если - дуга на единичной окружности, т.е. - либо интервал из , либо множество вида ( ). (69)Точку
назовем центром обобщенного интервала , если - центр дуги . Длиной обобщенного интервала естественно назвать величинуОпределение II.9.
Действительную функцию
назовем атомом, если существует обобщенный интервал такой, чтоа)
;б)
;в)
.Атомом назовем также функцию
, .Теорема 8.
Для того, чтобы выполнялось включение:
, необходимо и достаточно, чтобы функция допускала представление в виде*) , , (70)где
, , - атомы. При этом , (71)где inf берется по всем разложениям вида (70) функции
, а с и С - абсолютные константы.Доказательство.
Достаточность.
Пусть для функции
нашлось разложение вида (70). Покажем, что и . Для этого достаточно проверить, что для любого атома имеет место неравенство . (72)Пусть
- такой обобщенный интервал, что , , (73)(случай
тривиален). Так как , то нам остается доказать, что . (74)Для любого измеримого множества
, применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим , (75)откуда сразу вытекает (74), в случае, когда
.Допустим теперь, что
, и обозначим через обобщенный интервал длины с тем же центром, что и . Из (75) следует, что .Нам остается оценить интеграл
. Мы воспользуемся очевидным неравенством , ,где
- длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки и , а - абсолютная постоянная. В силу (73) при мы имеем