Атомические разложения функций в пространстве Харди (стр. 12 из 13)

. (88)

Пусть

, - отрезок, соединяющий точки

. Так как

, то из непрерывности функции

при

и неравенства (87) вытекает, что

, если

, и

. Поэтому , учитывая (88)

. (89)

Рассмотрим область

, ограниченную отрезками

и дугой

;пусть, далее, для

По теореме Коши [5]

Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги

справедливо равенство

мы получим

Но в силу теорем 4 и 5

и так как

, то мы находим, что

. (89')

Легко видеть, что отношение

ограничено сверху числом, зависящим только от s, поэтому

. (90)

Так как

, то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для

, справедливо неравенство (85). Для п.в.

неравенство (85) сразу следует из определения функций

и множеств

Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что

, а это значит, что функции

являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции

на атомы:

для п.в.

где

Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем

Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на

, двойственность
и ВМО.

Дадим описание пространства

, сопряженного к банахову пространству

. Нам потребуется

Определение II.10.

Пространство ВМО есть совокупность всех функций

, удовлетворяющих условию

, (91)

где

, а sup берется по всем обобщенным интервалам

Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой

. (92)

Ясно, что

. В то же время ВМО содержит и неограниченные функции. Нетрудно проверить, например, что функция

Теорема 9.

, т.е.

а) если

, и для произвольной функции

рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):

- атомы *) (93)

и положить

, (94)

то сумма

ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на

;

б) произвольный ограниченный линейный функционал

на

представим в виде (94), где

. При этом

(С, С₁ - абсолютные постоянные).

Лемма 2.

Пусть функция

такова, что для любого обобщенного интервала

найдется постоянная

, для которой

где М не зависит от

. Тогда

Доказательство.

Для любого обобщенного интервала

мы имеем