Атомические разложения функций в пространстве Харди (стр. 2 из 13)

, .

(

, ).

Определение7. Последовательность

функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции , если для почти всех , т.е. множество тех точек , в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.

В §I.2 мы рассматриваем пространства

- это совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма

.

Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию

( ) можно предсавить в виде

, , ,

где

для п.в. , при этом

;

.

Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях:

Определение8. Говорят, что действительная функция

, заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная , что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками выполнено неравенство .

Определение9. Действительная функция

, заданная на отрезке [a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого найдется число такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов , с суммой длин, меньшей : , выполняется неравенство .

В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств

и . Пространство ( ) представляет собой совокупность тех функций , , которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из , т.е. представимы в виде ( ). Здесь мы получаем следующие результаты: при пространство совпадает с , а при р=1 уже, чем , и состоит из функций , для которых и .

В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции

, аналитической в круге с нулями , ( ) с учетом их кратности:

,

где

- кратность нуля функции при .

Здесь доказывается, что каждая функция

представима в виде

, где не имеет нулей в круге и , ,а - произведение Бляшке функции .

Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции . Пусть

, , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим

, ,

где

- интеграл Пуассона функции . Функция называется нетангенциальной максимальной функцией для .

Тут же мы доказываем теорему об оценке

: если ( ), , то и .

Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.

Во второй главе два параграфа.

В §II.1 рассматривается пространство

. Как ранее отмечалось, оно уже, чем . Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству . Здесь вводится понятие атома: действительная функция называется атомом, если существует обобщенный интервал такой, что