Атомические разложения функций в пространстве Харди (стр. 4 из 13)

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции

( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

. ( 12 )

Для любой функции

, пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

Следовательно,

Для данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что

. Тогда для r , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку

Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

ОпределениеI.1.

Пусть функция

, суммируема на любом интервале (a,b), a<b,

. Максимальной функцией для функции

называется функция

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение I.2.

Оператор

называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

Теорема 2 (Фату).

Пусть

- комплекснозначная функция из

. Тогда

для п.в.

Доказательство.

Покажем, что для

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x)*). Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть

- такое число, что

Тогда для

Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора

. Используя его, найдем такую последовательность функций

,что

( 14 )

для п.в.

Согласно (13) при xÎ (-p,p)

Учитывая , что по теореме 1

для каждого xÎ [-p, p] и (14)

из последней оценки получим

при r®1.

Теорема 2 доказана.

Замечание1.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p]

, когда точка re^it стремится к e^ix по некасательному к окружности

пути.

§I.2.Пространства H^p.

Определение I.3.

Пространство

- совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма

. (15)

Пусть комплекснозначная функция

удовлетворяет условиям

(16)

тогда функция F (z) , определенная равенством

(17)

принадлежит пространству

, причем

. (18)

Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства

мы имеем

(*)

С другой стороны , по теореме 1 ( а при р=¥ в силу теоремы 2)

. Отсюда

(**)

Учитывая (*) и (**) , получим (18).

Ниже мы докажем, что любую функцию

можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется

Теорема 3.

Пусть комплекснозначная функция j (t) имеет ограниченную вариацию на [ -p,p] и

(19)

Тогда j (t) абсолютно непрерывна на [-p,p].

Замечание2.

В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации j (t) . Мы говорим, что

j (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл

определен для каждой непрерывной на [-p,p] функции f (t) , а также если

- характеристическая функция замкнутого множества

Доказательство теоремы 3.

Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества