Пусть
фиксировано. Для произвольной функции и положим , ,где
, , .Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций
(наличие этих свойств мы установим ниже):1)
, , ;2) при
функции , , сходятся по мере к;
3)
, , ,где С - абсолютная константа.
Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).
Легко видеть, что
, где , поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций , : по мере . (38)Для произвольного
найдем тригонометрический полином такой, что , . (39)Тогда согласно 3)
(40)и при
. (41)Так как
- полином, то и . (42)Учитывая, что
, и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим , ,что вместе с (38) доказывает равенство (37).
Докажем теперь, что для произвольной функции
справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как .Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное
и представим функцию в виде , , . (43)Из непрерывности функции
легко следует, чторавномерно по
. Поэтому при достаточно больших с учетом (43) мы будем иметь , (44)Кроме того, в силу 1) и (43)
;из этого неравенства и (44) вытекает, что при
.Для доказательства оценки 3) заметим, что
,где
. Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции и учитывая, что , получим 3).Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).
Пусть
( , , ) и . Тогда по теореме 4 , и надо доказать только, что для п.в. .Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при
и , .С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого
,, . (45)
Согласно теореме 1
. (46)Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости
( ) следует сходимость по мере функций к . Таким образом, по мере ( ),а потому , учитывая (46),
для п.в. .Теорема 5 доказана.
Следствие 1.
а) Если
, то ;б) если
и , то ;в) если
, , , , то . (47)Доказательство.
Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.