Курс лекций по теории вероятностей (стр. 10 из 20)

(f3) Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения всюду непрерывна.

Следствие 4. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то P(ξ = х) = 0для любого хÎR.

(f4) Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения дифференцируема почти всюду, и

для почти всех х.

Замечание 12. Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме (возможно) хиз некоторого множества нулевой меры (длины)». Заметьте, что стоящую под интегралом функцию можно изменить в одной точке (или на множестве нулевой длины), и интеграл (« площадь подграфика») от этого не изменится.

(f5) Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, то

Доказательство. Действительно,

Остальные равенства вытекают из следствия 5.

8.1 Примеры абсолютно непрерывных распределений

Равномерное.

Это распределение нам уже знакомо. Говорят, что ξ имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], и пишут ξÎU_a,bесли

Заметьте, что в точках a и b функция распределения недифференцируема, и плотность можно задать как угодно.

Показательное.

Говорят, что ξ имеет показательное распределение с параметром α, α > 0 и ξÎЕ_α, если

Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «не старения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).

Теорема 21. Свойство «Не старения». Пусть ξÎЕ_α. Тогда для любых х, у > 0

Нормальное.

Говорят, что ξ имеет нормальное распределение с параметрами а и σ² , где аÎR, σ > 0, и пишут ξÎ если ξ имеет следующую плотность распределения:

для любого xÎR

Убедимся, что f_ξ(x)действительно является плотностью распределения. Так как f_ξ(x)> 0 для всех xÎR, то свойство (f1) выполнено. Проверим выполнение (f2). Используем табличный интеграл (интеграл Пуассона)

Нормальное (иначе называемое гауссовским по имени Карла Гаусса распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей, поэтому мы очень подробно изучим все свойства этого распределения.

8.2 Свойства нормального распределения

Нормальное распределение задается, как мы видим, с помощью плотности распределения. Связано это с тем, что нельзя выписать первообразную от функции

иначе как в виде интеграла, поэтому функцию распределения этого закона можно записать лишь в таком виде:

Мы часто будем использовать обозначение для функции распределения нормального распределения с параметрами аи σ².

Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение при

а = 0 и σ= 1 называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид

для любого xÎR

а функция распределения

табулирована (то есть ее значения вычислены при многих х) почти во всех математических справочниках. Установим связь между

Свойство 5. Для любого xÎR справедливо соотношение

То же самое на языке случайных величин можно сформулировать так:

Следствие 5. Если то

Следствие 6. Если

то

Как мы видим, вычисление любых вероятностей для нормально распределенной случайной величины сводится к вычислению функции распределения Ф_0,1. Ее свойства

Свойство 6. Ф_0,1(0)= 0,5

Свойство 7. Ф_0,1(-х) = 1 -Ф_0,1(х)

Свойство 8. Если ξÎN_0,1, то

Свойство 9 (« Правило трех сигм»).

Если

то

Смысла в запоминании числа 0.0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах [a - 3σ, a - 3σ] всегда полезно.

Смысла в запоминании числа 0.0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах [a-3σ, a+3σ], всегда полезно.

Раздел 9. Случайные вектора и их распределения

Определение 29. Если случайные величины

заданы на одном вероятностном пространстве, то вектор ( ) мы будем называть случайным вектором.

Определение 30. Функция

называется функцией распределения случайного вектора ( ) или функцией совместного распределения случайных величин .

9.1 Свойства функции совместного распределения

Для простоты обозначений все дальнейшие рассуждения и формулировки приводятся в случае n = 2 для случайного вектора (

)

F0)

F1)

не убывает по каждой координате вектора (x₁x₂).

F2) Для любого i = 1, 2, существуют

При этом

F3) Функция

по каждой координате вектора (x₁x₂) непрерывна слева.

Только теперь этих свойств оказывается недостаточно для описания класса функций совместного распределения. Иначе говоря, выполнение этих свойств для некоторой функции F: R² ®Rвовсе не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.

Пример 25. Функция

a) удовлетворяет всем свойствам (F0)-(F3);

б) не является функцией распределения никакого вектора (ξ₁, ξ₂.) хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдется и прямоугольник [a₁b₁]x[a₂b₂], вероятность попасть в который (вычисленная с помощью этой «функции распределения») отрицательна:

P(a₁£ ξ₁< b₁ , a₂£ ξ₂<b₂ ) < 0!

Как же связана вероятность вектору попасть в прямоугольник с функцией распределения этого вектора?

Упражнение. Доказать, что

P(a₁£ξ₁< b₁ , a₂£ξ₂<b₂ )= F_{ξ1 ξ2} (b₁, b₂) - F_{ξ1 ξ2} (a₁, b₂) - F_{ξ1 ξ2} (b₁, a₂) + F_{ξ1 ξ2} (a₁, a₂) (8)