Курс лекций по теории вероятностей (стр. 11 из 20)
Оказывается, если потребовать дополнительно от функции F, чтобы для всякого [a1b1]x[a2b2] вероятность P(a1£ξ1< b1] , [a2£ξ2<b2], связанная с функцией F равенством (8), была неотрицательна, то любая функция, обладающая этим свойством и свойствами (F0)-(F3), уже будет функцией распределения некоторого случайного вектора.
9.2 Типы многомерных распределений
Ограничимся рассмотрением только двух случаев, когда совместное распределение координат случайного вектора (ξ1, ξ2.) либо дискретно, либо абсолютно непрерывно.
Дискретное совместное распределение
Определение 31. Говорят, что случайные величины ξ1, ξ2. имеют дискретное, совместное распределение, если существует конечный или счетный набор { ai, bi} такой, что
Таблицу, на пересечении i-й строки и j-го столбца которой (или наоборот) стоит число
P(ξ1= ai ,ξ2= bj) называют таблицей совместного распределения случайных величин ξ1,.ξ2
Замечание 13. Напомню, что таблицы распределения каждой из случайных величин ξ1, ξ2 в отдельности (таблицы частных, или маргинальных распределений) восстанавливаются по таблице совместного распределения с помощью очевидных формул:
Если эти формулы вам не представляются очевидными, необходимо вернуться к разделу 4 и перечитать определение 18 полной группы событий, обратив также внимание на доказательство теоремы 8 (формулы полной вероятности).
Абсолютно непрерывное совместное распределение
Определение 32. Говорят, что с.в. ξ1, ξ2 (заданные на одном вероятностном пространстве) имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, если существует функция
такая, что для любой точки (x1, x2) ÎR2 
Если такая функция
существует, она называется плотностью совместного распределения случайных величин ξ1, ξ2.Замечание 14. Для всего дальнейшего более чем достаточно считать, что
равняется объему под графиком функции f над областью интегрирования — прямоугольником [a1,b1]x[a2,b2].
Плотность совместного распределения обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности распределения одной случайной величины:
(f1)
для любых x1, x2ÎR;(f2)
.Более того, любая функция, обладающая этими свойствами, является плотностью некоторого совместного распределения.
Если совместное распределение абсолютно непрерывно, то по функции совместного распределения его плотность находится как смешанная частная производная:
(f3)
.Из свойства (F2) функции совместного распределения вытекает следующее утверждение. Для n > 2 это утверждение, как и свойство (F2), выглядит существенно иначе!
Теорема 22. Если случайные величины ξ1, ξ2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение с плотностью f(x1, x2), то ξ1, и ξ2 в отдельности также имеют абсолютно непрерывное распределение с плотностями:
9.3 Независимость случайных величин
Определение 33. Случайные величины ξ1, ξ2, … , ξnнезависимы, если для любого набора множеств В1ÍR, …ВnÍR имеет место равенство:
Это определение можно сформулировать в терминах функций распределения:
Определение 34. Случайные величины ξ1, ξ2, … , ξnнезависимы, если для любых х1, х2, … , хn имеет место равенство:
Определение 35. Случайные величины ξ1, ξ2, … , ξn с дискретным распределением независимы, если для любых а1, а2, … , аn имеет место равенство:
Для случайных величин с абсолютно непрерывным совместным распределением определение независимости можно сформулировать так:
Определение 36. Случайные величины ξ1, ξ2, … , ξn с абсолютно непрерывным совместным распределением независимы, если плотность совместного распределения равна произведению плотностей случайных ξ1, ξ2, … , ξn, то есть для любых х1, х2, … , хn имеет место равенство:
Раздел 10. Преобразования случайных величин
10.1 Преобразование одной случайной величины
Мы будем рассматривать только преобразования случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями. Пусть с. в. ξ имеет функцию распределения Fξ(x)и плотность распределения fξ(x). Построим с помощью функции g: R®R случайную величину η=g(ξ). Требуется найти функцию распределения и, если существует, плотность распределения η.
Замечание 15. Плотность распределения случайной величины η=g(ξ) существует далеко не при любых функциях g. Так, если функция g кусочно-постоянна, то с. в. ηимеет дискретное распределение, и плотность ее распределения не существует.
Плотность распределения g(ξ) заведомо существует, если, например, функция g(ξ) монотонна («строго монотонна»). Вспомним, что означает «найти плотность распределения η, если она существует».
По определению, если мы представим (для любого х) функцию распределения η в виде 
где подинтегральная функция h(y) неотрицательна, то плотность распределения с.в. η существует и в точности равна подинтегральной функции fξ(x)= h(x) .
Так что доказывать существование плотности распределения и находить ее мы будем одновременно, находя нужное интегральное представление для функции распределения.
Теорема 23. Пусть ξимеет функцию распределения Fξ(x) и плотность распределения fξ(x), и постоянная a отлична от нуля. Тогда случайная величина η = aξ + b имеет плотность распределения
Для произвольной монотонной функции g (то есть либо монотонно возрастающей функции, либо монотонно убывающей функции справедливо аналогичное теореме 23 утверждение).
Теорема 24. Пусть ξ имеет функцию распределения Fξ(x) и плотность распределения fξ(x), и функция g: R®R монотонна. Тогда случайная величина η=g(ξ) имеет плотность распределения
Здесь g-1— функция, обратная к g, и
— производная функции g-1.Следствие 7. Если ξÎN0,1, то η = σξ+аÎ
Следствие 8. Если ηÎ
, тоξ = (η –а)/ σÎN0,1.Следствие 9. Если ξÎЕα, то η = αξÎЕ1
10.2 Функции от двух случайных величин
Пусть ξ1ξ2 — случайные величины с плотностью совместного распределения
, и задана функцияg: R2®R. Требуется найти функцию (а если существует, то и плотность) распределения случайной величины η = g(ξ1 , ξ2).Пользуясь тем, что вероятность случайному вектору попасть в область можно вычислить как объем под графиком плотности распределения вектора над этой областью, сформулируем утверждение.