Курс лекций по теории вероятностей (стр. 13 из 20)

Пример 28. Пусть φ ÎU_0,2π, ξ = cos φ,η = sinφ— заведомо зависимые случайные величины. Но математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий: по свойству E1

11.3 Моменты старших порядков. Дисперсия

Определение 40. Если

, то число

называется моментом порядкаk (k-м моментом) случайной величины ξ;

называется абсолютным моментом порядкаk (абсолютным k -м моментом) случайной величины ξ;

называется центральным моментом порядкаk (центральным k -м моментом) случайной величины ξ;

называется абсолютнымцентральным моментом порядкаk (абсолютным центральным k -м моментом) случайной величины ξ.

Число Dξ = E(ξ – Eξ)² (центральный момент порядка 2) называется дисперсией случайной величины ξ

Пример 29. Пусть, скажем, случайная величина ξпринимает значение 0 с вероятностью 1-10^-5 , и значение 100 с вероятностью 10^-5. Посмотрим, как моменты разных порядков реагируют на большие, но маловероятные значения случайной величины.

Пример 30. Дисперсия Dξ = E(ξ – Eξ)²есть «среднее значение квадрата отклонения случайной величины ξ от своего среднего». Посмотрим, за что эта величина отвечает.

Пусть случайная величина ξ принимает значения +-1 с вероятностью 1/2, а случайная величина η — значения ю +-10 с вероятностью 1/2. Тогда Eξ = Eη = 0 поэтому Dξ = Eξ² = 1, Dη = Eη² = 100. Говорят, что дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Если говорить о распределении случайной величины, как о распределении единичной массы по невесомому стержню, то дисперсия есть в точности момент инерции этого стержня, закрепленного в центре тяжести.

Определение 40. Если дисперсия величины ξ конечна, то число

называют среднеквадратичным отклонением случайной величины ξ.

Следует хорошо понимать, что из существования моментов больших порядков следует существование моментов меньших порядков. В частности, конечность второго момента (или дисперсии) влечет существование математического ожидания.

11.4 Свойства дисперсии

Все свойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания.

D1.

Действительно,

D2.

D3.

если и только если ξ= const.п.н.

Доказательство. Дисперсия есть всего-навсего математическое ожидание п.н. неотрицательной с.в.:

Dξ = E(ξ – Eξ)², и неотрицательность дисперсии следует из свойства E5. По тому же свойству, Dξ = 0 если и только если E(ξ – Eξ)² = 0 п.н., то есть ξ = ξ п.н.

D4. Дисперсия не меняется от сдвига с.в. на постоянную:

D5. Если ξ и η независимы, то

Действительно,

так как математическое ожидание произведения независимых с.в. равно произведению их математических ожиданий.

D6. Минимум среднеквадратического отклонения случайной величины ξот точек вещественной прямой есть среднеквадратическое отклонение ξот своего математического ожидания:

Наименьший момент инерции стержня с распределенной на нем единичной массой получится, если точка вращения – центр тяжести стержня, а не любая другая точка.

Доказательство.

причем равенство достигается только для а = Eξ.

11.5 Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений

Пример 31. Распределение Бернулли В_р,

Пример 32. Биномиальное распределение В_n,p

Воспользуемся свойством устойчивости биномиального распределения относительно суммирования — леммой 5. Возьмем n независимых случайных величин ξ₁ξ₂ … ξ_n, имеющих распределение Бернулли В_,p = В_1,p.

Тогда их сумма S_n= ξ₁ + ξ₂ +… + ξ_n имеет распределение В_n,p

так как все ξ_i одинаково распределены и их математическое ожидание равно p_i;

поскольку ξ_i независимы и дисперсия каждой равна pq.

Пример 33. Геометрическое распределение G_p

При p Î (0,1)

Равенство (*) появилось из-за нежелания дифференцировать сумму геометрической прогрессии, которая начинается не с 0 а с q. Заметьте, что производная у добавленных слагаемых равна 0, так что производные от этих двух сумм равны

Поэтому

Пример 34. Распределение Пуассона П_λ

Показать, что

, следовательно

Пример 35. Равномерное распределение U_a,b

Пример 36. Стандартное нормальное распределение N_0,1

поскольку под интегралом стоит нечетная функция, и сам интеграл абсолютно сходится (за счет быстро убывающей

Последнее равенство следует из того, что

а интеграл по всей прямой от плотности любого распределения равен 1. Поэтому

Пример 37. Нормальное распределение

Мы знаем, что если

Поэтому

Пример 38. Показательное (экспоненциальное) распределение Е_α

Найдем для произвольного kÎN момент порядка k.

В последнем равенстве мы воспользовались гамма-функцией Эйлера:

Соответственно,

Пример 39. Стандартное распределение Коши С_0,1

Распределение Коши. Говорят, что ξ имеет распределение Коши с параметрами α, σ², где α ÎR, σ > 0, если

для всех х ÎR

Распределение Коши имеет, например, абсцисса точки пересечения луча, посланного из точки (α, σ) под наудачу выбранным углом,