Курс лекций по теории вероятностей (стр. 14 из 20)

с осью ОХ.

Математическое ожидание для распределения Коши не существует, поскольку

расходится (подинтегральная функция ведет себя на бесконечности как 1/х).

Пример 40. Распределение Парето

Распределение Парето. Говорят, что ξ имеет распределение Парето с параметрами х₀, s, где х₀> 0, s > 0, если

У распределения Парето существуют только моменты порядка u < s, поскольку

сходится при u < s, то есть когда подинтегральная функция на бесконечности бесконечно мала по сравнению с 1/х.

«Случайных величин без мат. ожидания не бывает, так как, если у нас есть случайная величина мы всегда в праве от нее что-нибудь ожидать.»

Из студенческой контрольной работы.

Раздел 11. Числовые характеристики случайных величин

11.1 Математическое ожидание случайной величины

Определение 38. Математическим ожиданиемEξ (средним значением, первым моментом) случайной величины ξ с дискретным распределением, задаваемым таблицей P(ξ = а_i) = p_i, называется число

если указанный ряд абсолютно сходится.

Если же

, то говорят, что математическое ожидание не существует.

Определение 39. Математическим ожиданиемEξ случайной величины ξ с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения f_ξ(x), называется число

если указанный интеграл абсолютно сходится.

Если же

, то говорят, что математическое ожидание не существует.

Математическое ожидание имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в точку а_i массу p_i (для дискретного распределения), или «размазав» ее с плотностью f_ξ(x) (для абсолютно непрерывного распределения), то точка Eξ есть координата «центра тяжести» прямой.

Пример 26. Пусть случайная величина ξ равна числу очков, выпадающих при одном подбрасывании кубика. Тогда

в среднем при подбрасывании кубика выпадает 3.5 очка

Пример 27. Пусть случайная величина ξ — координата точки, брошенной наудачу на отрезок [a,b]. Тогда

центр тяжести равномерного распределения на отрезке есть середина отрезка.

11.2 Свойства математического ожидания

Во всех свойствах предполагается, что рассматриваемые математические ожидания существуют.

E0. Математическое ожидание случайной величины есть ЧИСЛО!

E1. Для произвольной функции функция g: R®R

Доказательство. Мы докажем это свойство (как и почти все дальнейшие) только для дискретного распределения. Пусть g(ξ) принимает значения с₁с₂ … с вероятностями

Тогда

E2 Математическое ожидание constравно этойconstEс = с.

E3. constможно вынести за знак математического ожидания: E(сξ) = с Eξ.

Доказательство. Следует из свойства E1 при g(ξ) = сξ.

E4. Математическое ожидание суммы любых случайных величин ξ и η равно сумме их математических ожиданий.

E (ξ + η ) = E (ξ )+ E (η)

Доказательство. Для величин с дискретным распределением: пусть x_kи y_n — значения ξиη, соответственно.

E5.Если ξ³0 п.н. (« почти наверное», т.е. с вероятностью 1: P(ξ³ 0 ) = 1), то Eξ³0;

Если ξ³0 п.н., и при этом Eξ = 0, то ξ = 0 п.н., то есть P(ξ = 0) = 1.

Следствие 11.

Если ξ£η п.н., то Eξ£ Eη .

Если ξ£η п.н., и при этом Eξ = Eη, то ξ = η п.н.

E6. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.: если ξиη независимы, то

E(ξη) = EξEη.

Доказательство.

Замечание 16. Обратное утверждение к свойству E6 неверно: из равенства E(ξη) = EξEη. Не следует независимость величин ξи η.

Пример 28. Пусть φ ÎU_0,2π, ξ = cos φ,η = sinφ— заведомо зависимые случайные величины. Но математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий: по свойству E1

11.3 Моменты старших порядков. Дисперсия

Определение 40. Если

, то число

называется моментом порядкаk (k-м моментом) случайной величины ξ;

называется абсолютным моментом порядкаk (абсолютным k -м моментом) случайной величины ξ;

называется центральным моментом порядкаk (центральным k -м моментом) случайной величины ξ;

называется абсолютнымцентральным моментом порядкаk (абсолютным центральным k -м моментом) случайной величины ξ.

Число Dξ = E(ξ – Eξ)² (центральный момент порядка 2) называется дисперсией случайной величины ξ

Пример 29. Пусть, скажем, случайная величина ξпринимает значение 0 с вероятностью 1-10^-5 , и значение 100 с вероятностью 10^-5. Посмотрим, как моменты разных порядков реагируют на большие, но маловероятные значения случайной величины.

Пример 30. Дисперсия Dξ = E(ξ – Eξ)²есть «среднее значение квадрата отклонения случайной величины ξ от своего среднего». Посмотрим, за что эта величина отвечает.

Пусть случайная величина ξ принимает значения +-1 с вероятностью 1/2, а случайная величина η — значения ю +-10 с вероятностью 1/2. Тогда Eξ = Eη = 0 поэтому Dξ = Eξ² = 1, Dη = Eη² = 100. Говорят, что дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Если говорить о распределении случайной величины, как о распределении единичной массы по невесомому стержню, то дисперсия есть в точности момент инерции этого стержня, закрепленного в центре тяжести.

Определение 40. Если дисперсия величины ξ конечна, то число

называют среднеквадратичным отклонением случайной величины ξ.

Следует хорошо понимать, что из существования моментов больших порядков следует существование моментов меньших порядков. В частности, конечность второго момента (или дисперсии) влечет существование математического ожидания.

11.4 Свойства дисперсии

Все свойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания.

D1.

Действительно,

D2.

D3.

если и только если ξ= const.п.н.

Доказательство. Дисперсия есть всего-навсего математическое ожидание п.н. неотрицательной с.в.:

Dξ = E(ξ – Eξ)², и неотрицательность дисперсии следует из свойства E5. По тому же свойству, Dξ = 0 если и только если E(ξ – Eξ)² = 0 п.н., то есть ξ = ξ п.н.

D4. Дисперсия не меняется от сдвига с.в. на постоянную: