Курс лекций по теории вероятностей (стр. 15 из 20)

D5. Если ξ и η независимы, то

Действительно,

так как математическое ожидание произведения независимых с.в. равно произведению их математических ожиданий.

D6. Минимум среднеквадратического отклонения случайной величины ξот точек вещественной прямой есть среднеквадратическое отклонение ξот своего математического ожидания:

Наименьший момент инерции стержня с распределенной на нем единичной массой получится, если точка вращения – центр тяжести стержня, а не любая другая точка.

Доказательство.

причем равенство достигается только для а = Eξ.

11.5 Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений

Пример 31. Распределение Бернулли В_р,

Пример 32. Биномиальное распределение В_n_,_p

Воспользуемся свойством устойчивости биномиального распределения относительно суммирования — леммой 5. Возьмем n независимых случайных величин ξ₁ξ₂ … ξ_n, имеющих распределение Бернулли В_,_p = В_1,_p.

Тогда их сумма S_n= ξ₁ + ξ₂ +… + ξ_n имеет распределение В_n_,_p

так как все ξ_i одинаково распределены и их математическое ожидание равно p_i;

поскольку ξ_i независимы и дисперсия каждой равна pq.

Пример 33. Геометрическое распределение G_p

При p Î (0,1)

Равенство (*) появилось из-за нежелания дифференцировать сумму геометрической прогрессии, которая начинается не с 0 а с q. Заметьте, что производная у добавленных слагаемых равна 0, так что производные от этих двух сумм равны

Поэтому

Пример 34. Распределение Пуассона П_λ

Показать, что

, следовательно

Пример 35. Равномерное распределение U_a_,_b

Пример 36. Стандартное нормальное распределение N_0,1

поскольку под интегралом стоит нечетная функция, и сам интеграл абсолютно сходится (за счет быстро убывающей

Последнее равенство следует из того, что

а интеграл по всей прямой от плотности любого распределения равен 1. Поэтому

Пример 37. Нормальное распределение

Мы знаем, что если

Поэтому

Пример 38. Показательное (экспоненциальное) распределение Е_α

Найдем для произвольного kÎN момент порядка k.

В последнем равенстве мы воспользовались гамма-функцией Эйлера:

Соответственно,

Пример 39. Стандартное распределение Коши С_0,1

Распределение Коши. Говорят, что ξ имеет распределение Коши с параметрами α, σ², где α ÎR, σ > 0, если

для всех х ÎR

Распределение Коши имеет, например, абсцисса точки пересечения луча, посланного из точки (α, σ) под наудачу выбранным углом,

с осью ОХ.

Математическое ожидание для распределения Коши не существует, поскольку

расходится (подинтегральная функция ведет себя на бесконечности как 1/х).

Пример 40. Распределение Парето

Распределение Парето. Говорят, что ξ имеет распределение Парето с параметрами х₀, s, где х₀> 0, s > 0, если

У распределения Парето существуют только моменты порядка u < s, поскольку

сходится при u < s, то есть когда подинтегральная функция на бесконечности бесконечно мала по сравнению с 1/х.

Раздел 12. Числовые характеристики зависимости случайных величин

12.1 Чем отличается дисперсия суммы от суммы дисперсий?

Мы знаем, что для независимых с. в. с конечными вторыми моментами дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Чему равна дисперсия суммы в общем случае?

(10)

Величина E(ξη) - Eξ Eη равняется нулю, если случайные величины ξи η независимы (свойство E6 математического ожидания). С другой стороны, из равенства ее нулю вовсе не следует независимость, как показывает пример 30. Оказывается, что эту величину часто используют как «индикатор наличия зависимости» пары с. в.

Определение 41. Ковариацией cov(ξ, η) случайных величин ξи η называется число

Свойство 10.

Свойство 11.

;

Свойство 12. Дисперсия суммы нескольких случайных величин вычисляется по любой из следующих формул:

Обсудим достоинства и недостатки ковариации, как величины, характеризующей зависимость двух с. в.

1. Если ковариация cov(ξ, η) отлична от нуля, то величины ξи ηзависимы!

2. С гарантией о наличии зависимости мы можем судить, если знаем совместное распределение пары ξи η, и можем проверить, равна ли (например) плотность совместного распределения произведению плотностей.

Но найти совместное распределение часто бывает сложнее, чем посчитать математическое ожидание произведения ξи η. Если нам повезет, и математическое ожидание произведения ξи η не будет равняться произведению их мат. ожиданий, мы скажем, что ξи η зависимы не находя их совместного распределения!

Пример 41. Покажем, что с помощью ковариации можно судить о зависимости даже когда для вычисления совместного распределения недостаточно данных.

Пусть ξи η — независимые случайные величины, и дисперсия ξотлична от нуля. Докажем, что ξи ξ+ η зависимы.

(11)

Поэтому

Следовательно, ξи ξ+ η зависимы.

3. Жаль, что величина cov(ξ, η) не является «безразмерной»: если ξ – объем газа в сосуде, а η – давление этого газа, то ковариация измеряется в кубометрах х Паскали :).

Иначе говоря, при умножении одной из величин ξ, η на какое-нибудь число ковариация тоже умножается на это число. Но умножение на число не сказывается на «степени зависимости» величин (они от этого «более зависимыми» не становятся), так что большое значение ковариации не означает более сильной зависимости.