Перечислим очевидные в случае дискретного пространства элементарных исходов свойства вероятности, которые мы скоро докажем сразу в общем случае.
1. 0 £Р(А) £1;
2. Р(Ω) = 1;
3. Р(Æ) = 0;
4. Р(Ō) = 1 - Р(О);
5. если АиВ несовместны, то Р(А U В) = Р(А) + Р(В);
6. в общем же случае Р(А U В) = Р(А) + Р(В) - Р(А ∩ В);
7. если А Í В, то Р(А) £Р(В).
Классическое определение вероятности
Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: Ω = {ω1, ω2, … ωN}. Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной 1/N.
Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте (симметричная монета, хорошо перемешанная колода карт, правильная кость). Либо мы можем заранее считать исходы эксперимента равновозможными, но тогда рано или поздно все равно возникнет вопрос о соответствии такой математической модели реальному эксперименту.
Если событие А = {
}состоит из k элементарных исходов, то вероятность этого события равняетсяотношению k/N:
где символом │А│ обозначено число элементов конечного множества А.
Определение 7.
Говорят, что эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности (или классической вероятностной схеме), если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа │А│= N равновозможных исходов.
называемой классическим определением вероятности. Эта формула читается так: «вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу исходов».
Замечание 5. Полезно помнить классическую формулировку Якоба Бернулли: «Вероятность есть степень достоверности и отличается от нее как часть от целого». (Ars Conjectandi, 1713 г.)
Замечание 6. Мы видим теперь, что подсчет вероятности в классической схеме сводится к подсчету числа «шансов» (элементарных исходов), благоприятствующих какому-либо событию, и общего числа шансов. Как правило, это делается с помощью формул комбинаторики.
Рассмотрим описанные в параграфе 1.1 урновые схемы. Напомним, что речь идет об извлечении kшариков из урны, содержащей n шариков. При этом три схемы: с возвращением и с учетом порядка, без возвращения и с учетом порядка, а также без возвращения и без учета порядка удовлетворяют классическому определению вероятности.
Общее число элементарных исходов в этих схемах подсчитано в теоремах 4, 2, 3 и равно, соответственно,
Четвертая же схема — схема выбора с возвращением и без учета порядка — имеет заведомо неравновозможные исходы.
Пример 6. Рассмотрим, скажем, выбор двух шариков из двух или, что то же самое, дважды подбросим монету. Если учитывать порядок, то исходов получится 4, и все они равновозможны, то есть имеют вероятность по 1/4:
(герб, герб), (решка, решка), (решка, герб), (герб, решка).
Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исхода одним и тем же результатом эксперимента, и получить три исхода вместо четырех: выпало два герба, либо две решки, либо один герб и одна решка.
При этом первые два исхода имеют вероятность 1/4, а последний — вероятность 1/4+1/4=1/2.
Гипергеометрическое распределение
Пример 7.
Из урны, в которой n1 белых и n-n1 чёрных шаров, наудачу, без возвращения вынимают kшаров, k<n. Термин «наудачу» означает, что появление любого набора из kшаров равно возможно. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно k1 белых и k -k1 чёрных шаров.Заметим, что при k1 > n1 или k -k1> n -n1 искомая вероятность равна 0, так как соответствующее событие невозможно. Пусть k1 < n1 и k -k1 <n -n1. Результатом эксперимента является набор из k шаров. При этом можно не учитывать или учитывать порядок следования шаров.
1. Выбор без учета порядка. Общее число элементарных исходов есть число k –элементных подмножеств множества, состоящего из n элементов, то есть
(по теореме 3).Обозначим через Aсобытие, вероятность которого требуется найти. Событию Aблагоприятствует появление любого набора, содержащего k1 белых шаров и k -k1 черных.
Число благоприятных исходов равно произведению (по теореме 1) числа способов выбрать k1 белых шаров из n1 и числа способов выбрать k -k1 черных шаров из n -n1:
2. Выбор с учетом порядка. Общее число элементарных исходов есть число способов разместить n элементов на k местах
(по теореме 2).Называется гипергеометрическим распределением.
Раздел 2. Геометрическая вероятность
2.1 Что это такое
Рассмотрим какую-нибудь область Ω в Rm ,(на прямой, на плоскости, в пространстве). Предположим, что «мера» Ω (длина, площадь, объем, соответственно) конечна. Пусть случайный эксперимент состоит в том, что мы наудачу бросаем в эту область точку а. Термин «наудачу» здесь означает, что вероятность попадания точки в любую часть АÍΩ не зависит от формы или расположения Авнутри Ω, а зависит лишь от «меры» области.«Мерой» мы пока будем называть длину, площадь, объем и т.д.
Если для точки, брошенной в область Ω, выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области Ω.
Пример 8. Точка наудачу бросается на отрезок [0,1]. Вероятность точке попасть в точку {0,5} равна нулю, так как мера множества, состоящего из одной точки («длина точки»), есть 0. Вместе с тем попадание в точку {0,5} не является невозможным событием — это один из элементарных исходов эксперимента.
2.2 Задача о встрече
Пример 9. Два лица Х и У условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?