Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства (стр. 12 из 20)

Решение. Возведем обе части неравенства в куб, предварительно перенеся

в правую часть:

Последнее неравенство эквивалентно системе неравенств

или

Решением последней системы является

Ответ:

7. Решение иррациональных неравенств с параметрами

Параметром называют такую переменную, значения которой постоянны в пределах рассматриваемой задачи .

Значения параметров

, для которых функции

определены, называются множеством допустимых значений параметров.

Неравенство, содержащее параметры, только тогда считается решенным, когда указано множество всех его решений при произвольной допустимой системе значений параметров. Решение параметрических иррациональных неравенств рассмотрим на примерах. Чтобы проанализировать все допустимые значения параметров и найти соответствующие искомые значения переменной, целесообразно данное неравенство заменить эквивалентной совокупностью неравенств, как это будет показано ниже на примерах.

Пример 1. Решить и исследовать неравенство:

(1)

Решение. Найдем ОДЗ неравенства (1)

. Неравенство (1) заменим эквивалентной совокупностью неравенств

Ясно, что второе неравенство будет истинно при любом

из ОДЗ, т.к.

. Первое неравенство совокупности имеет и правую и левую положительные части. Возведем в квадрат обе его части.

Все значения

будут принадлежать ОДЗ, так как

, значит

Ответ: 1.

; 2.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Легко видеть, что при

данное неравенство не имеет решений, т.к. получаем положительную левую часть меньше отрицательно правой. что не имеет смысла. Рассмотрим неравенство при

. ОДЗ неравенства

Неравенство имеет смысл лишь при

. Получаем систему неравенств, эквивалентную исходному неравенству:

Решим последнее неравенство системы. Видим, что оно имеет смысл лишь при

. Возведем в квадрат обе части неравенства

при

Сравним

, чтобы определить верхнюю границу значений

при

значит

Ответ: если

, то

если

. то

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство перепишем так

(1)

Легко видеть, что при а = 0 неравенство решения не имеет. Рассмотрим значение параметра а > 0 и а < 0: левая и правая части неравенства положительные, поэтому при возведением неравенства в квадрат получим неравенства, эквивалентное данному в области его определения. При a < 0 данное неравенство тождественно истинное в области его определения (левая часть

неотрицательная, а правая отрицательная). Поэтому данное неравенство можно заменить следующей эквивалентной совокупностью систем неравенств:

Рассмотрим неравенство (2). После выполнения преобразований получим:

При a > 0 значения х = а и х = 0 не удовлетворяют неравенству, а при всех значениях 0 < x < a указанное неравенство тождественно истинное, поэтому первая система совокупности эквивалентна системе:

Итак, решение неравенства (1)

1) если а > 0 0 < x < a

2) если а = 0 нет решений

3) если a < 0 a £ x £ 0

Пример 4. Решить неравенство:

Решение. Возводим неравенство в квадрат. Так как левая и правая части неравенства неотрицательны, то эквивалентность не нарушается в области определения неравенства. Первый радикал имеет смысл при x £ а, второй при x £ b. При этих же значениях переменной имеет смысл и выражение, стоящее в правой части неравенства.

Итак,

равносильно системе

но

значит последнее неравенство системы равносильно неравенству:

или

А система равносильна системе

* выполняется, если оба множителя под корнем больше нуля или оба меньше нуля, значит наша система равносильна совокупности двух систем:

после выполнения преобразований получаем:

Видим, что в первой системе может быть два случая:

1) a ³ b,

2) b ³ a.

В первом случае решением системы будет x < b, а во втором x < a.

Ответ: 1) a ³ b x < b

2) a £ b x < а

8. Решение иррациональных неравенств, способом введения новой переменной.

Иррациональные неравенства, как и иррациональные уравнения можно решать способом введения новой переменной. Рассмотрим использование этого метода на примерах.

Пример 1. Решить неравенство: