Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства (стр. 5 из 20)

Неравенства встречаются в математике еще в глубокой ревности. Рассмотрим некоторые из них.

1. Среднее геометрическое двух положительных чисел

меньше их среднего арифметического (Евклид).

2. Архимед установил неравенства

3. Если

- наибольший квадрат, содержащийся в числе, а - остаток, то

при

при

(Аль-Кальсади, Трактат "Раскрытие тайн науки Габар", XV век).

Дальнейшие обобщения натуральных, целых, рациональных и т.д. чисел привели к понятию алгебраической системы, в частности, к понятию кольца и поля. Так, иррациональные числа с алгебраической точки зрения являются элементами поля

, они не содержатся в поле , и поле является расширением поля .

2. Неравенства и их основные свойства

Мы будем рассматривать положительные, отрицательные действительные числа и число

. Изобразим горизонтальную числовую прямую, направленную вправо и числа на ней.

При движении вдоль прямой слева направо числа будут появляться в порядке их возрастания. Ясно, что

. Но , так как точка, изображающая , расположена правее точки, изображающей . Таким образом, мы имеем следующее геометрическое правило для определения неравенства:

Пусть

и - какие-нибудь два действительных числа, изображенных точками горизонтальной числовой прямой, направленной слева направо. Тогда в том и только том случае, когда точка, изображающая число , лежит правее точки, изображающей число .

Это геометрическое правило можно заменить простым арифметическим правилом, если принять понятие положительного числа за основное:

Пусть

и - какие-нибудь два действительных числа. Тогда в том и только том случае, когда положительно. В частности всякое положительное число больше нуля, ибо разность положительна. Поэтому неравенство употребляется для символической записи утверждения, что число положительно. Отрицательное число определяется как число, противоположное положительному числу относительно точки на числовой прямой. Всякое отрицательное число меньше нуля, ибо, если отрицательно, то положительно. Запись употребляется для обозначения утверждения, что отрицательное число.

Число нуль обладает тем свойством, что

для любого действительного числа .

Итак, числа

и могут относиться друг к другу следующим образом:

1).

2).

3).

Причем всегда имеет место одно и только одно из этих соотношений.

Рассмотрим теперь основные свойства неравенств.

Теорема 1. Если и

, то .

Это свойство называется свойством транзитивности неравенств.

В самом деле,

как сумма двух отрицательных слагаемых. Дадим геометрическое толкование свойства транзитивности: точка

на числовой прямой расположена левее точки , а точка левее точки , при этих условиях точка расположена левее точки .

Теорема 2. Если

, то , т.е. при изменении знака обеих частей неравенства смысл знака неравенства меняется на обратный.

Действительно,

Следовательно, по определению

.

Геометрическая иллюстрация:

Теорема 3. Если

и , то , т.е. обе части неравенства можно умножить на положительное число.

Действительно,

Но

и . Следовательно, . Итак, , т.е. , что и требовалось доказать.

Теорема 4. Если

и , то , т.е. при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Действительно,

.

Но

, , следовательно, и , т.е. .

Теорема 5. Если

и , то , т.е. при умножении обеих частей неравенства на нуль неравенство переходит в равенство.