Шпаргалка по Высшей математике 3 (стр. 14 из 21)
и
Интегрируем полученное равенство:
Обозначим х+1=t, тогда х=t-1 и dx=dt. Таким обpaзoм,
Следовательно,
Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.
33. Интегрирование тригонометрических функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки.
Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать R(sin x;cos x), где R - знак рациональной функции.
Вычисление неопределенных интегралов типа
сводится к вычислению интегралов от paциoнaльнoй фyнкции подстановкой 
, которая называется универсальной.Действительно,
, 
Поэтому
где R1(t) - рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.
На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной фyнкции. В частнocти, удобны следующие правила:
1) если функция R(sinx;cos x) нечетна относительно sinx, т.е. R(— sinx;cos x)=— R(sin x;cos x), то подстановка cosx=t рационализирует интеграл;
2) если функция R(sinx;cos x) нечетна относительно cosx, т.е. R(sinx; - cosx)=—R(sinx;cosx), то делается подстановка sinx=t;
3) если функция R(sin x; cos x) четна относительно sinx и cosx R(— sin x; - cos x)=R(sin x; cos x), то интеграл рационализируется подстановкой tgx=t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид
Пример Найти интеграл
Решение: Cделаем универсальную подстановку
Тогда dx= 
, 
, 
. Следовательно, 
34. Некоторые особые тригонометрические подстановки.
Интегралы типа ∫sinmх•cosnx dx
Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:
1) подстановка sinx=t, если n - целое положительное нечетное число;
2) подстановка cosx=t, если m - целое положительное нечетное число;
3) формулы понижения порядка: cos2x=1/2(1+cos2x), sin2x =1/2(1-cos 2x), sinx-cosx =1/2 sin2x, если тип - целые неотрицательные четные числа;
4) подстановка tg х=t, если m+n - есть четное отрицательное целое число.
Пример Найти интеграл
Решение: Применим подстановку sinx=t. Тогда х=arcsint, dx
И 
Использование тригонометрических преобразований
Интегралы типа
вычисляются с помощью известных формул тригонометрии: 
Пример Найти интеграл
Решение:
35. Интегрирование иррациональных выражений.
Квадратичные иррациональности
Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.
Интегралы типа
называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим обpaзoм:под радикалом выделить полный квадрат
и сделать подстановку х +b/2a=t. При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий - к сумме двух табличных интегралов.
Пример Найти интегралы
Решение: Так как,
то
Cдeлаем подстановку x+1/4=t, x=t-1/4,dx=dt. Тогда
Интегралы типа
, где Рn(х) - многочлен степени n, можно вычислять, пользуясь формулой
1.где Qn-1(x) - многочлен степени n-1 с неопpедeлeнными коэффициентами, l - также неопределенный коэффициент.
Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства (1):
после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х.
Пример Найти интеграл
Решение: По формуле (1) имеем:
Дифференцируя это равенство, получаем:
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
Отсюда А=-1/2,B=3/2,l=2. Следовательно,
Интегралы типа
где а, b, с, d - действительные числа, a,b,...,d,g - натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки 
где К - наименьшее общee кратное знаменателей дробей 
Действительно, из подстановки
следует, что 
и 
т. е. х и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби
выражается через рациональную функцию от t.Пример Найти интеграл
Решение: Наименьшее общee кратное знаменателей дробей 2/3 и 1/2 есть 6.
Поэтому полагаем х+2=t6, х=t6-2, dx=6t5 dt,
Следовательно, 
Пример Указать подстановку для нахождения интегралов:
Решение: Для I1 подстановка х=t2, для I2 подстановка
Тригонометрическая подстановка
Интегралы типа приводятся к интегралам
от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: х=а•sint для первого интеграла; х=а•tgt для второго интеграла; 
для третьего интеграла. 
Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х и
Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку 
, интегралы указанного типа приводятся к интегралам уже pасcмoтpeннoгo типа, т. е. к интегралам типа 
Эти интегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометрических подстановок.Пример Найти интеграл
Решение: Так как х2+2х-4=(х+1)2-5, то х+1=t, x=t-1, dx=dt. Поэтому
Положим 
