Шпаргалка по Высшей математике 3 (стр. 17 из 21)

;

и получать общее решение в форме

;

решённой относительно неизвестной функции.

обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

;

где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

;

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как

;

Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид

или .

40. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

Уравнения с разделенными переменными Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию

f(x) dx + g(y) dy = 0.

Пусть y(x) - решение этого уравнения, т.е. f(x)dx + g(y(x))dy(x) = 0. Интегрируя это тождество, получим

- общий интеграл (общее решение) этого уравнения.
Пример: решить задачу Коши Исходное уравнение - с разделёнными переменными, интегрируя его, получим . Соотношение (x-1)² + y³ = C - общее решение (общий интеграл) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, надо подставить в общее решения данные значения x₀ и y₀, и найти значение постоянной C на этом решении: (2-1)² + 1³ = 2 C = 2. Таким образом, решение поставленной задачи: (x-1)² + y³ = 2.
Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида

или

f₁(x) g₁(y) dx + f₂(x) g₂(y) dy = 0

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Записываем уравнение (11) в форме

, затем делим на g(y) и умножаем на dx: . 1.

Уравнение (1) делим на f₂(x) g₁(y):

.

Эти уравнения - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:

. .

В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.

Если функция g(y) имеет действительные корни y₁, y₂, y₃, …, то функции y = y₁, y = y₂,

y = y₃, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения. Если функция f₂(x) имеет действительные корни x₁, x₂, x₃, …, функция g₁(y) имеет действительные корни y₁, y₂, y₃, …, то функции x = x₁, x = x₂, x = x₃, …, y = y₁, y = y₂, y = y₃, … являются решениями исходного уравнения.

В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Пример:

.
При такой форме записи общего интеграла решение y = 1 потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постоянную C как ln|C₁|: . Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования C; общее решение содержит частное решение y = 1 при C = 0.

41. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Рассмотрим многочлен

,

он называется однородным степени n, если все его члены имеют один и тот же порядок n, то есть для каждого а_ij×хⁱ×у^j имеем i+j=n.

Определение 1. Функция Р(х,у) называется однородной степени n, если для любого k - числа - имеет место тождество

Р(k×х,k×у) = kⁿ×P(x,y).

Пусть дано уравнение

Р(х,у)dx+Q(x,y)dy=0. (1.8)

Если P(x,y),Q(x,y) - однородные функции одной и той же степени n, тогда (1.8) является однородным уравнением первого порядка.

Для решения таких уравнений пользуются подстановкой

или

, которая приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример.

х²+у²-2×х×у×у^/=0.

Предположим, что х×у ¹ 0. Тогда

.

следовательно, у = u×x , а отсюда dy = udx+xdu

После приведения подобных и перегруппировки членов имеем

Þ

следовательно, x²-y²=C₁×x - решение.

Сделаем проверку

1. Если х = 0 тогда C₀ = 0 и, следовательно x² = y² .

2. 1-u² = 0 .

Пусть теперь однородное дифференциальное уравнение имеет вид

у^/ = f(x,y) или

.

Тогда dy=f(x,y)dx, то есть при dy стоит коэффициент, равный единице, то есть имеем однородную функцию нулевой степени: следовательно, f(x,y) должна быть однородной функцией нулевой степени.

42. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейное уравнение имеет вид:

а(х)×у^/ + b(х)×y + c(x) = 0, (1.9)

где а(х), b(x), c(x) - заданные функции.

Если а(х) ¹ 0, то это уравнение можно записать в приведенном виде:

у^/ + Р(х)×у = f(x), (1.10)

где

,

,

тогда f(x) - свободный член.

Пусть Р(х) и f(x) в (1.10) непрерывны на (a,b).

Будем искать решение в виде y = u×v, где u - ненулевое решение соответствующего однородного уравнения

u^/ + P(x)×u = 0, (1.11)

a v - неизвестная функция. Тогда

y^/ = u^/×v + v^/×u. (1.12)

Подставим в (1.10) эти выражения. Получим

u^/×v + v^/×u + P(x)×u×v = f(x) (1.13)

v × (u^/+P(x)× u) + u×v^/ = f(x)

Учитывая, что имеет место (1.11), получим

u×v^/ = f(x). (1.14)

Следует u подобрать так, чтобы коэффициент при v был равен нулю.

Из (1.11) и (1.14) находим u и v, подставляем в y = u×v, причем u есть конкретное решение, отличное от нуля.

Пример. Необходимо найти частное решение

x×y^/-y = x².

Начальные условия:

.

Пусть у = 0 при х = -1.

Искомое решение запишем в виде y = u×v.

y^/ = u^/×v + v^/×u.

Подставим в уравнение, имеем

x×u^/×v + x×v^/×u - u×v = x².

После приведения подобных имеем

v×(x×u^/ - u) + x×u×v^/ = x².

Þ

следовательно, lnu = lnx + lnC₀.