Шпаргалка по Высшей математике 3 (стр. 19 из 21)
Если же 
расходится, то ряд 
также будет расходящимся.
46. Ряды с членами произвольного знака. Признак Лейбница.
Ряд называется знакопеременным, если он содержит бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным следует положительный. Для знакочередующихся рядов имеется достаточный признак сходимости Лейбница: если в знакочередующемся ряде члены убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю, то ряд сходится. Для общего случая знакопеременных рядов имеется следующий достаточный признак; если сходится ряд из абсолютных величин членов данного ряда, то сходится и данный ряд; в этом случае сходимость называют абсолютной. Приведенный признак не является необходимым, т. е. из сходимости знакопеременного ряда не следует сходимость ряда из абсолютных величин. Сходимость знакопеременного ряда называется условной, если этот ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Абсолютно сходящиеся ряды обладают тем свойством, что над ними можно совершать операции, аналогичные операциям над конечными суммами, некоторые из этих операций к условно сходящимся рядам не применимы.
Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов)
Ряд 
сходится, если:
- 
;
- 
.
Знакопеременный ряд 
называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд 
.
Если ряд 
сходится, а ряд 
расходится, то ряд называют сходящимся условно.
Очевидно, что если ряд 
сходится, то ряд 
также сходится. Обратное утверждение в общем случае неверно.
47. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
Важный частный случай функциональных рядов представляют собой степенные ряды, т.е. ряды вида 
или, в более общем случае, 
. Поскольку при замене 
ряд переходит в ряд 
, достаточно рассмотреть эти последние ряды.
Теорема 1. Если степенной ряд 
сходится в точке 
, то он сходится абсолютно для любого значения 
такого, что 
.
Доказательство. Поскольку 
- сходится, 
. Следовательно, 
. (Действительно, взяв 
, получим, что при 
. Тогда в качестве 
можно взять наибольшее из конечного набора чисел 
). Тогда 
. Так как 
, прогрессия 
сходится. Значит, по первой теореме о сравнении, сходится ряд 
, т.е. исходный ряд абсолютно сходится.
Эта теорема позволяет выяснить структуру множества, на котором сходится степенной ряд.
Во-первых, очевидно, что любой степенной ряд сходится в точке 
. Кроме того, есть ряды, которые сходятся только в этой точке, например, ряд 
.
Если же ряд сходится в точках, отличных от , то возможны два случая.
В первом из них множество чисел 
таких, что ряд сходится в точке , неограничено сверху. Тогда ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой, т.к. 
выберем 
так, чтобы, во-первых, 
и, во-вторых, ряд 
сходился. Тогда, по теореме 1, ряд 
абсолютно сходится.
Во втором случае множество чисел таких, что ряд сходится, ограничено сверху. Обозначим через 
точную верхнюю грань этого множества. Число называется радиусом сходимости ряда. Из определения следует, что:
1. Если 
, то ряд абсолютно сходится;
2. Если 
, то ряд расходится.
В случае, когда ряд сходится на всей числовой прямой 
, полагают 
.
В точках 
общего утверждения о сходимости сделать нельзя (т.е. бывают ряды, сходящиеся в обеих этих точках, бывают – сходящиеся лишь в одной из них, бывают – расходящиеся в обеих точках. Примеры будут приведены ниже).
Найдем формулы, с помощью которых можно вычислить - радиус сходимости степенного ряда. Рассмотрим ряд 
. Применим к его исследованию признак Даламбера. 
. Если существует 
, и если 
, то ряд сходится. Если же 
, то, начиная с некоторого места, 
и общий член 
ряда не стремится к 0, но тогда и общий член 
ряда не стремится к 0 и ряд расходится.