Шпаргалка по Высшей математике 3 (стр. 2 из 21)
Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.
Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.
Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)
Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.
Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1 ± d2 , e = e1 ± e2 , f = f1 ± f2 , то верно:
Пример. Вычислить определитель матрицы А =
= -5 + 18 + 6 = 19.
Пример:. Даны матрицы А =
, В = 
. Найти det (AB).1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A ×det B = -26.
2- й способ: AB =
, det (AB) = 7×18 - 8×19 = 126 –– 152 = -26.
5. Обратная матрица.
Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.
Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.
Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения матриц, можно записать:
AX = E Þ
, i=(1,n), j=(1,n),eij = 0, i ¹ j,
eij = 1, i = j .
Таким образом, получаем систему уравнений:
,Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.
Пример. Дана матрица А =
, найти А-1. 
Таким образом, А-1=
.Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:
,где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.
Пример. Дана матрица А =
, найти А-1.det A = 4 - 6 = -2.
M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1
x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2
Таким образом, А-1=
.6. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
det A ¹ 0;
Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.
Теорема. (Правило Крамера):
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
xi = Di/D, где
D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
Di = 
Пример.
A =
; D1= 
; D2= 
; D3= 
;x1 = D1/detA; x2 = D2/detA; x3 = D3/detA;
Пример. Найти решение системы уравнений:
D =
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;D1 =
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.x1 = D1/D = 1;
D2 =
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.x2 = D2/D = 2;
D3 =
= 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.x3 = D3/D = 3.
Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.
Если система однородна, т.е. bi = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.
При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.
Для самостоятельного решения:
; Ответ: x = 0; y = 0; z = -2. 7. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
Составим матрицы: A =
; B = 
; X = 
.Систему уравнений можно записать:
A×X = B.
Сделаем следующее преобразование: A-1×A×X = A-1×B,
т.к. А-1×А = Е, то Е×Х = А-1×В
Х = А-1×В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
Пример. Решить систему уравнений:
Х =
, B = 
, A = 
Найдем обратную матрицу А-1.
D = det A =
5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.M11 =
= -5; M21 = 
= 1; M31 = 
= -1;M12 =
M22 = 
M32 = 
M13 =
M23 = 
M33 = 
A-1 = 
;