Шпаргалка по Высшей математике 3 (стр. 21 из 21)

Важное замечание. Из доказанных теорем вытекает, что при интегрировании и дифференцировании радиус сходимости не уменьшается. Но увеличиться он также не может. Если бы, например, он увеличился и стал равен

при интегрировании, мы продифференцировали бы этот полученный при интегрировании ряд и получили бы с одной стороны, ряд, совпадающий с исходным, а с другой стороны, имеющий радиус сходимости не меньший, чем

(по доказанному).

Итак, радиус сходимости степенного ряда не меняется при почленном интегрировании и дифференцировании.

Однако поведение в концевых точках

может меняться. Например, ряд

сходится на

. При этом ряд

, получающийся из исходного дифференцированием, сходится только на

, а прогрессия

, получающаяся при дифференцировании ряда

(сходящегося на

), сходится на

.

Рассмотрим теперь функцию

, представляемую степенным рядом в области его сходимости. Очевидно,

. Далее, последовательно применяем теорему о почленном дифференцировании ряда.

, откуда

.

, откуда

.

,

и т.д.

.

Следовательно, при всех

. Таким образом,

. Это можно сформулировать так: степенной ряд, сходящийся к

, представляет собой ряд Тейлора для своей суммы

.

Если

имеет производные произвольного порядка в точке

, то можно образовать соответствующий ей ряд Тейлора:

.

Важное замечание. Не всегда этот ряд сходится к самой функции

. Например, нетрудно доказать, что функция

имеет производные произвольного порядка в точке

и все они равны 0, т.е.

. Ряд Тейлора этой функции тождественно равен 0 и не совпадает с

.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы ряд Тейлора функции

сходился к самой функции

, можно сформулировать так: остаток

должен стремиться к 0 при

.