Шпаргалка по Высшей математике 3 (стр. 3 из 21)

Cделаем проверку:

A×A^-1 =

=E.

Находим матрицу Х.

Х =

= А^-1В = × = .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

8. Понятие векторов и действия над ними.

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор -

Произведение -

, при этом коллинеарен .

Вектор

сонаправлен с вектором ( ), если a > 0.

Вектор

противоположно направлен с вектором ( ¯ ), если a < 0.

9. Скалярное произведение векторов. Угол между двумя векторами.

Определение. Скалярным произведением векторов

и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ï ïï ïcosj

Свойства скалярного произведения:

1)

× = ï ï²;

2)

× = 0, если ^ или = 0 или = 0.

3)

× = × ;

4)

×( + ) = × + × ;

5) (m

)× = ×(m ) = m( × ); m=const

Если рассматривать векторы

в декартовой прямоугольной системе координат, то

× = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

;

Пример. Найти (5

+ 3 )(2 - ), если

10

× - 5 × + 6 × - 3 × = 10 ,

т.к.

.

Пример. Найти угол между векторами

и , если

.

Т.е.

= (1, 2, 3), = (6, 4, -2)

× = 6 + 8 – 6 = 8:

.

cosj =

Пример. Найти скалярное произведение (3

- 2 )×(5 - 6 ), если

15

× - 18 × - 10 × + 12 × = 15