Шпаргалка по Высшей математике 3 (стр. 4 из 21)
+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.
Пример. Найти угол между векторами
и 
, если 
.Т.е.
= (3, 4, 5), = (4, 5, -3) × = 12 + 20 - 15 =17 : 
.cosj =
Пример. При каком m векторы
и 
перпендикулярны. = (m, 1, 0); = (3, -3, -4) 
.Пример. Найти скалярное произведение векторов
и 
, если 
(
)( ) = 
= 10 ++ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
10. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами.
Определение.
1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.
3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.
Определение. Если
- базис в пространстве и 
, то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.В связи с этим можно записать следующие свойства:
- равные векторы имеют одинаковые координаты,
- при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,
= 
.- при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.
; 
; + = 
.Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.
1-я ось – ось абсцисс
2-я ось – ось ординат
3-я ось – ось апликат
Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.
Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то
= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.
Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.
Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то
.Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, считая от А, то координаты этой точки определяются как:
В частном случае координаты середины отрезка находятся как:
x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.
Линейные операции над векторами в координатах.
Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид: 
11. Условия коллинеарности и ортогональности двух векторов.
Условие коллинеарности двух векторов в коорднинатной форме.
векторы называются коллинеарными, если прямые параллельны или совпадают.
Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Т.е. если
, то 
.Доказательство:
Пусть вектор
коллинеарен 
, тогда найдется λ такое, что 
. Значит, 
и 
. Поскольку разложение вектора по элементам базиса 
единственно, то 
.Пусть выполняется равенство
. Обозначим коэффициент пропорциональности через λ. Тогда и, следовательно, 
, т.е. 
. Теорема доказана.Пример.
Даны векторы
. Найти вектор 
. 
.Условие ортогональности двух векторов:
Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю.
или 
.Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.
Примеры.
Пусть А(-1; 1; 0), B(3; 1; -2),
. Найти: 
; 
и 
; 
.a.
.b.
.c.
.12. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.