Шпаргалка по Высшей математике 3 (стр. 6 из 21)
Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости. Пусть заданы два вектора 
и 
, коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы 
должны быть компланарны.
Уравнение плоскости: 
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали 
(A, B, C) имеет вид: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор 
. Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору 
. Тогда скалярное произведение × = 0 Таким образом, получаем уравнение плоскости 
Теорема доказана.
17. Уравнения прямой в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве по точке и
направляющему вектору.
Возьмем произвольную прямую и вектор
(m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой.На прямой возьмем две произвольные точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z).
Обозначим радиус- векторы этих точек как
и 
, очевидно, что - = 
.Т.к. векторы
и 
коллинеарны, то верно соотношение = t, где t – некоторый параметр.Итого, можно записать:
= + t.Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.
Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:
Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:
.Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора
, которые могут быть вычислены по формулам: 
; 
.Отсюда получим: m : n : p = cosa : cosb : cosg.
Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к.
- ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.Уравнение прямой в пространстве, проходящей
через две точки.
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:
.Кроме того, для точки М1 можно записать:
.Решая совместно эти уравнения, получим:
.Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.
Общие уравнения прямой в пространстве.
Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.
Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:
× + D = 0, где - нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.Пусть в пространстве заданы две плоскости:
× + D1 = 0 и 
× + D2 = 0, векторы нормали имеют координаты: 
(A1, B1, C1), (A2, B2, C2); (x, y, z).Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:
Общие уравнения прямой в координатной форме:
Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.
Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.
При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.
Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.
, т.е. А(0, 2, 1).Находим компоненты направляющего вектора прямой.
Тогда канонические уравнения прямой:
Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:
Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:
;2x – 9x – 7 = 0;
x = -1; y = 3;
Получаем: A(-1; 3; 0).
Направляющий вектор прямой:
.Итого:
18. Понятие функции. Способы задания функции.
Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.
Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие ƒ, которое каждому элементу хÎ X сопоставляет один и только один элемент уÎ Y, называется функцией и записывается у=ƒ(х), хÎ X или ƒ: X→Y. Говорят еще, что функция ƒ отображает множество X на множество Y.