Шпаргалка по Высшей математике 3 (стр. 7 из 21)

Числовые функции. График функции. Способы задания функций

Пусть задана функция ƒ : X→Y.

Если элементами множеств X и Y являются действительные числа (т. е. XÌ R и YÌ R), то функцию ƒ называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать у=ƒ(х).

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а у — функцией или зависимой переменной (от х). Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у=у(х), не вводя новой буквы (ƒ) для обозначения зависимости.

Частное значение функции ƒ(х) при х=a записывают так: ƒ(a). Например, если ƒ(х)=2х²-3, то ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.

Графиком функции у=(х) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой на которых х является значением аргумента, а у — соответствующим значением функции.

Чтобы задать функцию у=ƒ(х), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Если область определения функции у = ƒ(х) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.Так, областью определения функции у= √(1-х2) является отрезок [-1; 1].

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у=ƒ(х).

Графический способ: задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком — его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

19. Основные свойства функций.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом

, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁)< f(x₂).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁) > f(x₂).

4. Экстремумы

Точка Х_max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х_max , выполнено неравенство f(х)

f(X_max).

Значение Y_max=f(X_max) называется максимумом этой функции.

Х_max – точка максимума
У_max – максимум

Точка Х_min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х_min , выполнено неравенство f(х)

f(X_min).

Значение Y_min=f(X_min) называется минимумом этой функции.

X_min – точка минимума
Y_min – минимум

X_min, Х_max – точки экстремума
Y_min, У_max – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х₁,Х₂,Х₃ – нули функции y = f(x).

20. Последовательности. Предел числовой последовательности.

Функция f:N® X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Если f:N® R, то последовательность называется числовой. Иначе, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: x_n = f(n). Обозначают числовую последовательность {x_n}. Примеры числовых последовательностей:

Пример 16. 1) 1,2,..., n,...;
2) 1,-1,1,-1,...,(-1)ⁿ,...;
3) 1,1/2,1/3,...,1/n,....

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если $ M (m), такое, что для любого nÎ N x_n£ M (x_n³ m).

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть $ c > 0 такое, что |x_n| £ c для любого nÎ N. Заметим, что в данном определении c=max{|m|,|M|}.

Пример 17.

1,2,...,n,... — ограничена снизу, но неограничена сверху;

{1/n} – ограничена, так как 0< x_n£ 1 ;

{(-1)ⁿ} – ограничена

Последовательность x_n называется неограниченной, если

" c>0 $ N: |x_N| > c

Неограниченная последовательность может быть односторонне ограниченной, то есть ограниченной или сверху, или снизу. Пример неограниченной сверху последовательности: x_n = n.

Понятие предела числовой последовательности хорошо иллюстрируется на следующем примере. Пусть задана последовательность x_n = 1/n. Изобразим ее члены точками на числовой оси (рис. 12).

Можно заметить, что члены последовательности с ростом номера n как угодно близко приближаются к 0. При этом величина x_n становится все меньше и меньше. Очевидно, что пределом данной последовательности будет 0.

Дадим строгое определение предела числовой последовательности.

определение предела последовательности. Число A называется пределом последовательности x_n, если

" U(A) $ N: " n > N x_nÎ U(A).

Приведем другое определение предела, которое является эквивалентным первому.

определение предела последовательности. Число A называется пределом x_n, если

" e > 0 $ N: " n > N |x_n-A |< e

Заметим, что здесь использованы логические символы: квантор всеобщности " (вместо слова "для любого") и квантор существования $ (вместо слова "найдется").

Предел числовой последовательности обозначается lim_n®¥ x_n = A или x_n® A при n® ¥. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

Пример 18. Пусть x_n = 1/n, покажем, что

lim_{n® ¥}1/n = 0.

Для этого запишем определение:

" e>0 $ N: " n>N |x_n|<e.

То есть 1/n<e при n>N=[1/e].

Пример 19.

x_n =

.

Доказать, что

lim_{n ® ¥}

= 1

" e >0 $ N: " n > N |

-1| < e.
1/n < e Þ n > 1/e N = [1/e]
Если e = 1/10 , то N=10 и при n > 10 следует выполнение нужного неравенства.

Выясним геометрический смысл понятия предела последовательности. Расположим члены последовательности x₁,x₂,..., x_n,... на числовой прямой. Неравенство |x_n-A|<e равносильно следующему A- e < x_n < A + e, которое говорит о том, что члены последовательности x_n попадают в e - окрестность точки A (рис.13). Вне этой e -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

21. Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о пределах.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство