При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.
Записывают:
Аналогично можно определить пределы
для любого х>M и для любого х<M.Число А называется пределом функции в точке хо (или при х→хо), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все х¹хо, удовлетворяющих неравенству |х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.
Пусть функция у=ƒ(х) определена в промежутке (-∞;∞). Число А называется пределом функции ƒ(х) при х→∞, если для любого положительного числа ε существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>М выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:
Теорема 1.
, где С = const.Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.
Теорема 2.
Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.
Теорема 3.
Следствие.
Теорема 4.
приТеорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.
Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.
Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .
Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.
Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.
Доказательство. Пусть
, т.е. , тогда или , т.е. где М = e + ïАïТеорема доказана.
Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки хо.
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
22. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если
.Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к.
.Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x) = A + a(x),
где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).
Свойства бесконечно малых функций:
1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.
4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.
Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где
, тогдаf(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)
A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где
, тогдаA×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит
Теорема доказана.
Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство
ïf(x)ï>M
выполняется при всех х, удовлетворяющих условию
0 < ïx - aï < D
Записывается
.Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим:
а если заменить на f(x)<M, то:
Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если
, где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.
Теорема. Если f(x)®0 при х®а (если х®¥ ) и не обращается в ноль, то
Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.
Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.
Определение. Если
, то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.Определение. Если
, то a и b называются бесконечно малыми одного порядка.Определение. Если
то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.
т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.
Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции b, если предел
конечен и отличен от нуля.Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение
не имеет предела, то функции несравнимы.Пример. Если
, то при х®0 , т.е. функция a - бесконечно малая порядка 2 относительно функции b.Пример. Если
, то при х®0 не существует, т.е. функция a и b несравнимы. , где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,