Алгебра (стр. 10 из 20)
º Œ æ Øæ ŁØ Œ Ł, Łæ º ºŁ Ł
æ Łı Œ . Œ Œ Ł Ł º Ł 8.1.2, ŁŁ Ææ Œ ºŁ Ø æ æ ƺ Ł æ ß Ł æ Øæ Ł, Ł
ŁŁ Œ Ł ºŁ Ø æ æ . ˇ , Ææ Œ ßı ºŁ Ø ßı æ æ ı ª Ł ºŁ Ø Ø Œ ÆŁ ŁŁ Œ , ºŁ Ø ŁæŁ ßı Ł ºŁ Ø ŁæŁ ßı æŁæ ı Œ , Œ Ł ŁŁ Ł æ Øæ ı ºŁ Ø Ø ŁæŁ æ Ł, Æ æ Ø
ºŁ Ø Ø ŁæŁ æ Ł, ºŁ Ø ß ŁŁ Ø æŁæ ß Œ -
ª , Æ Œ Ł º ßı æŁæ ı Œ , Æ Łæ Ł ª æŁæ ß Œ . ˝ æ Ł ºŁ Ł .
ˇ Ł : V = k[x]. — ææ Ł æº ø æŁæ Œ :
1,x,x2,...,xn ∈ V . æŁæ Œ º æ ºŁ Ø ŁæŁØ. ˜ Øæ Ł º ,
α0 · 1 + α1x + α2x2 + ... + αnxn = 0 ⇔ α0 = α1 = α2 = ... = αn = 0,
Ł , 1,x,x2,...,xn º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ -
Ø Œ . ł æ , n Æ º Æß Ł Œ Œ ª Æ º łŁ . ˇ æ æ V æ ø æ ºŁ Ø ŁæŁ ß æŁæ ß Œ æ Œ ŒŁ ª Æ º łŁ Łæº Łı Œ .
˛ º Ł 8.2.1. ¸Ł Ø æ æ V ß æ Œ ß , æºŁ æ ø æ º Łæº N Œ , Łæº ºŁ Ø
ŁæŁ ßı Œ º Æ Ø æŁæ æ æ V æı Ł N. ´ Ł æº , ºŁ Ø æ æ V ß æ Æ æŒ ß .
ˇ Ł :
1. V = kn Œ ºŁ Ø æ æ .
2. V = k[x] Æ æŒ ºŁ Ø æ æ .
8.2. ` Łæ ºŁ Ø ª æ æ
´ Œ ßı ºŁ Ø ßı æ æ ı ª Ł Æ Łæ
Œ Œ Œ Ø, Œ Ł Æ æŒ Ø æŁæ ß Œ . ´ æ æ Ł,
ª Ł Æ Łæ æ ª Œ ª ºŁ Ø ª æ æ V .
| ˛ º Ł 8.2.2. ` Łæ | º ª Œ | ª | æ æ | |
| V ß æ ºŁ | Ø ŁæŁ | æŁæ | Œ | |
| B = {e1,e2,...,en}, º æº ŁØ: | º Æ Ł æº | øŁı | æŁº | ßı |
| 1. º Æ Ø Œ a ∈ V ºŁ Ø | ß æ | æŁæ | B; | |
| 2. ∀ a ∈ V æŁæ (B,a) | º æ ºŁ Ø | ŁæŁ Ø; | ||
| 3. æ æ V æ ø æ | ºŁ Ø | ŁæŁ ßı | æŁæ | æ |
| Łæº Œ Æ º łŁ , | B. |
˛ º Ł 8.2.3. — æ º ª ºŁ Ø ª æ æ æ Ł æ Łæº 0. — æ º ª Œ ª ºŁ Ø ª æ æ V ß æ Łæº Œ º Æ Æ Łæ ª -
æ æ ŁºŁ ŒæŁ º Łæº ºŁ Ø ŁæŁ ßı Œ ª æ æ V .
— æ Œ ª ºŁ Ø ª æ æ V Æ Æ dim V ŁºŁ rang V .
ˇ Ł :
1. dim {0} = 0;
2. dim kn = n;
3. dim M(m × n,k) = mn;
4. dim L = n − r;
5. dim{f(x) ∈ k[x]|deg f(x) 6 n} = n + 1.
ˇ æ V Œ ºŁ Ø æ æ Ł e1,e2,...,en ª Æ Łæ. ª º Æ Ø Œ a ∈ V ß Ł Æ Łæ
a = α1e1 + α2e2 + ... + αnen. (8.1)
Œ Œ Œ Æ Łæ º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ Ø Œ , ß Ł (8.1) º Œ a Ł æ . ŒŁ Æ , Œ -
Œ a ∈ V æ Ł æ æ æ Ł æŁæ
(α1,α2,...,αn) æŁ º Æ Łæ e1,e2,...,en.
˛ º Ł 8.2.4. ˚ Ł Ł (Œ Ł) Œ a ∈ V æŁ º ª Æ Łæ e1,e2,...,en ºŁ Ø ª æ æ V ß æ æ Œ æ Œ Ł Ł ºŁ Ø ª ß Ł Œ a Æ Łæ.
ˇŁł , Œ a = (α1,α2,...,αn).
| ˛ | º Ł 8.2.5. ˚ Ł | ß | æ ºÆ Œ a æŁ º | |
| ª | Æ Łæ e1,e2,...,en | ß | æ æ ºÆ , æ æ º ßØ Ł Œ - | |
| Ł | Œ a æŁ º | ª | Æ Łæ . | |
| ˛Æ | α1 α2 Ł aˇ = . ... αn | |||
| ˛ | º | Ł 8.2.6. æ | º Ł | Œ a ∈ V ª Œ Ł - |
| ª æ | ºÆ | æŁ º | ª Æ | Łæ æ æ V ß æ |
| æ | ß Æ Ł ºŁ | Ø ª | æ æ V æ Ł n | |
| Œ | Ł | ºŁ Ø æ | æ | kn. |
| æ | , | Œ ßØ Æ Łæ e1,e2,...,en º æ æ | ||
Æ Ł V → kn.
8.3. ¨ Ł ºŁ Ø ßı æ æ
ˇ º Ł 8.2.1. ˚ Ł ßØ æ ºÆ æ ß ı Œ æ Œ Ł ßı æ ºÆ æº ª ßı Œ . ˚ Ł ßØ æ ºÆ Ł Ł Œ æŒ º , Œ Ł æ ºÆ-
ª Œ , æŒ º .
º Ł 8.2.1 , a +ˇ b = aˇ +ˇb Ł αaˇ = αaˇ.
˜ Ł ª ŁæŁ (8.1). æ , aˇ> = (α1,α2,...,αn)
Ł æ Ł 1×n. — ææ Ł Æ Łæ ßØ æ ºÆ æ æ
Ł æ Ł n×1. ª aˇ>e˜ = α1e1 +α2e2 +. ŒŁ Æ , a = aˇ>e˜ Ł Łæ æ
8.3 ¨ Ł ºŁ Ø ßı æ æ
ˇ æ V Ł V 0 ºŁ Ø ßı æ æ Ł Ł æ ß º k.
˛ º Ł 8.3.1. ¨ Ł ºŁ Ø ª æ æ V ºŁ-
Ø æ æ V 0 Ł Ł æ ß º k ß æ æ Œ ÆŁ Œ Ł f : V → V 0, º ø æº Ł ºŁ Ø æ Ł:
1. (∀ a,b ∈ V ) f(a + b) = f(a) + f(b);
2. (∀ α ∈ k, a ∈ V ) f(αa) = αf(a).
æº Ł 1 , Æ Ł f º æ Ł Ł -
Ł Ł Ø ª ß (V,+) Ł Ł ª
.˛ º Ł 8.3.2. ¸Ł Ø æ æ V ß æ Ł ß ºŁ Ø æ æ V 0 (V ∼= V 0), æºŁ æ ø æ ı Æß
Ł Ł Ł f : V → V 0.
ˇ º Ł 8.3.1. ˛ ł Ł Ł Ł º æ ł Ł
Œ Ł º æ Ł Œº ææ ºŁ Ø ßı æ æ Ł Ł æ ß º k.
º Ł 8.3.1 , º ł Ł Ł æ Ł
| æ ºŁ ß æº | øŁ | Ł | ||
| 1. V ∼= V , æ | ß º æ | æ Øæ | º ŒæŁ | æ Ł; |
| 2. æºŁ V ∼= V 0, | V 0 ∼= V (æŁ | Ł | æ | ); |
3. æºŁ V 00 ∼= V 0 Ł V 0 ∼= V , V 00 ∼= V ( Ł Ł æ ).